IME / ITA(Ita 1990) Polinômios Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Hanon
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Fev 2019 08 17:34

(Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por Hanon » Sex 08 Fev, 2019 17:34

Seja [tex3]p(x)=16x^5-78x^4+...+\alpha x-5[/tex3] um polinômio de coeficientes reais tal que a equação [tex3]p(x)=0[/tex3] admite mais do que uma raiz real e ainda, [tex3]a+bi[/tex3] é uma raiz complexa desta equação com [tex3]ab\neq0[/tex3] . Sabendo que [tex3]\frac{1}{a}[/tex3] é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de [tex3]p(x)=0[/tex3] e que a soma destas raízes reais valem [tex3]\frac{7}{8}[/tex3] enquanto que o produto é [tex3]\frac{1}{64}[/tex3] , o valor de [tex3]\alpha[/tex3] é:
a) 32
b) 56
c) 71
d) 11
e) 0




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Cardoso1979
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Fev 2019 09 02:30

Re: (Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 09 Fev, 2019 02:30

Observe

Solução:

Se a + bi é uma raíz complexa da equação dada, então a - bi( conjugado ) também o é, logo a equação tem duas raízes imaginárias e três raízes reais ( confira o enunciado ). Vamos então utilizar os dados da questão e duas relações de Girard, vem;

• a + bi + a - bi + [tex3]\frac{7}{8}=\frac{78}{
16}[/tex3] → 2a = 4 → a = 2

• ( a + bi ).( a - bi ).[tex3]\frac{1}{64}=\frac{5}{16}[/tex3] → a² - ( bi )² = [tex3]\frac{64.5}{16}[/tex3] → a² + b² = 20


As raízes reais formam uma progressão geométrica de razão [tex3]\frac{1}{a}=\frac{1}{2}[/tex3] , isto é , são números da forma 2r , r , [tex3]\frac{r}{2}[/tex3] . Assim,

[tex3]2r.r.\frac{r}{2}=\frac{1}{64}→ r^3=\frac{1}{64}→r=\frac{1}{4}[/tex3]

Agora vamos utilizar mais uma relação de Girard, temos:

[tex3](a+bi).(a-bi).2r.r+(a+bi).(a-bi).2r.\frac{r}{2}+(a+bi).(a-bi).r.\frac{r}{2}+(a+bi).2r.r.\frac{r}{2}+(a-bi).2r.r.\frac{r}{2}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

[tex3][a^2-(bi)^2].2r^2+[a^2-(bi)^2].r^2+[a
^2-(bi)^2].\frac{r^2}{2}+(a+bi).r^3+(a-bi).r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

[tex3][a^2-(-b^2)].2r^2+[a^2-(-b^2)].r^2+[a
^2-(-b^2)].\frac{r^2}{2}+(a+bi+a-bi).r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

[tex3](a^2+b^2).(2r^2+r^2+\frac{r^2}{2})+2a.r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3] ( l )

Como a² + b² = 20 , a = 2 e r = 1/4 substituindo em ( l ) , resulta;

[tex3]20.\frac{7}{32}+4.\frac{1}{64}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

[tex3]\frac{35}{8}+\frac{1}{16}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

[tex3]\frac{70+1}{16}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]

α = 71


Portanto, o valor de α é 71 , alternativa c).


Nota

Sejam [tex3]r_{1},r_{2},r_{3}, r_{4} \ e \ r_{5}[/tex3] raízes do polinômio dado, então pela relações de Girard, temos:

•[tex3]r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}+r_{5}=-\frac{b}{a}[/tex3]

• [tex3]r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{4}.r_{5}=-\frac{f}{a}[/tex3]

• [tex3]r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{4}+r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{5}+r_{1}.r_{2}.r_{4}.r_{5}+r_{1}.r_{3}.r_{4}.r_{5}+r_{2}.r_{3}.r_{4}.r_{5}=\frac{e}{a}[/tex3]

Onde;

[tex3]r_{1}[/tex3] = a + bi

[tex3]r_{2}[/tex3] = a - bi

[tex3]r_{3}+r_{4}+r_{5}=\frac{7}{8}[/tex3] → soma das três raízes reais.

[tex3]r_{3}.r_{4}.r_{5}=\frac{1}{64}[/tex3] → produto das três raízes reais.

{ a = 16
{ b = - 78
{ c = ?
{ d = ?
{ e = α = 71
{ f = - 5



Bons estudos!




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Cardoso1979
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Re: (Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 09 Fev, 2019 11:14

Só um detalhe que somente agora eu percebi, não que esteja errado, mais o ideal é você representar as duas raízes complexas assim: x + yi e x - yi , pois do jeito que está ( a + bi e a - bi ) pode fazer confusão com os coeficientes do polinômio dado no caso a = 16 , b = - 78.👍



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Re: (Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por Hanon » Sáb 09 Fev, 2019 13:13

Obrigado Cardoso1979, o enunciado é esse mesmo! :)



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Re: (Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 09 Fev, 2019 13:25

Hanon escreveu:
Sáb 09 Fev, 2019 13:13
Obrigado Cardoso1979, o enunciado é esse mesmo! :)
Olá!

Eu me expressei erroneamente, quando eu disse para você conferir o enunciado, na realidade era para vc acompanhar o que o enunciado diz ( para compreender o que eu fiz nas três primeiras linhas...). O enunciado eu sei que está correto👍.


Abraços!



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mionsk
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Re: (Ita 1990) Polinômios

Mensagem não lida por mionsk » Ter 19 Fev, 2019 10:28

Show essa questão!!!




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