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(Ita 1990) Polinômios
Enviado: Sex 08 Fev, 2019 17:34
por Hanon
Seja [tex3]p(x)=16x^5-78x^4+...+\alpha x-5[/tex3]
um polinômio de coeficientes reais tal que a equação [tex3]p(x)=0[/tex3]
admite mais do que uma raiz real e ainda, [tex3]a+bi[/tex3]
é uma raiz complexa desta equação com [tex3]ab\neq0[/tex3]
. Sabendo que [tex3]\frac{1}{a}[/tex3]
é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de [tex3]p(x)=0[/tex3]
e que a soma destas raízes reais valem [tex3]\frac{7}{8}[/tex3]
enquanto que o produto é [tex3]\frac{1}{64}[/tex3]
, o valor de [tex3]\alpha[/tex3]
é:
a) 32
b) 56
c) 71
d) 11
e) 0
Re: (Ita 1990) Polinômios
Enviado: Sáb 09 Fev, 2019 02:30
por Cardoso1979
Observe
Solução:
Se a + bi é uma raíz complexa da equação dada, então a - bi( conjugado ) também o é, logo a equação tem duas raízes imaginárias e três raízes reais ( confira o enunciado ). Vamos então utilizar os dados da questão e duas relações de Girard, vem;
• a + bi + a - bi + [tex3]\frac{7}{8}=\frac{78}{
16}[/tex3]
→ 2a = 4 → a = 2
• ( a + bi ).( a - bi ).[tex3]\frac{1}{64}=\frac{5}{16}[/tex3]
→ a² - ( bi )² = [tex3]\frac{64.5}{16}[/tex3]
→ a² + b² = 20
As raízes reais formam uma progressão geométrica de razão [tex3]\frac{1}{a}=\frac{1}{2}[/tex3]
, isto é , são números da forma 2r , r , [tex3]\frac{r}{2}[/tex3]
. Assim,
[tex3]2r.r.\frac{r}{2}=\frac{1}{64}→ r^3=\frac{1}{64}→r=\frac{1}{4}[/tex3]
Agora vamos utilizar mais uma relação de Girard, temos:
[tex3](a+bi).(a-bi).2r.r+(a+bi).(a-bi).2r.\frac{r}{2}+(a+bi).(a-bi).r.\frac{r}{2}+(a+bi).2r.r.\frac{r}{2}+(a-bi).2r.r.\frac{r}{2}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
[tex3][a^2-(bi)^2].2r^2+[a^2-(bi)^2].r^2+[a
^2-(bi)^2].\frac{r^2}{2}+(a+bi).r^3+(a-bi).r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
[tex3][a^2-(-b^2)].2r^2+[a^2-(-b^2)].r^2+[a
^2-(-b^2)].\frac{r^2}{2}+(a+bi+a-bi).r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
[tex3](a^2+b^2).(2r^2+r^2+\frac{r^2}{2})+2a.r^3=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
( l )
Como a² + b² = 20 , a = 2 e r = 1/4 substituindo em ( l ) , resulta;
[tex3]20.\frac{7}{32}+4.\frac{1}{64}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
[tex3]\frac{35}{8}+\frac{1}{16}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
[tex3]\frac{70+1}{16}=\frac{\alpha }{16}[/tex3]
α = 71
Portanto, o valor de α é 71 , alternativa c).
Nota
Sejam [tex3]r_{1},r_{2},r_{3}, r_{4} \ e \ r_{5}[/tex3]
raízes do polinômio dado, então pela relações de Girard, temos:
•[tex3]r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}+r_{5}=-\frac{b}{a}[/tex3]
• [tex3]r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{4}.r_{5}=-\frac{f}{a}[/tex3]
• [tex3]r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{4}+r_{1}.r_{2}.r_{3}.r_{5}+r_{1}.r_{2}.r_{4}.r_{5}+r_{1}.r_{3}.r_{4}.r_{5}+r_{2}.r_{3}.r_{4}.r_{5}=\frac{e}{a}[/tex3]
Onde;
[tex3]r_{1}[/tex3]
= a + bi
[tex3]r_{2}[/tex3]
= a - bi
[tex3]r_{3}+r_{4}+r_{5}=\frac{7}{8}[/tex3]
→ soma das três raízes reais.
[tex3]r_{3}.r_{4}.r_{5}=\frac{1}{64}[/tex3]
→ produto das três raízes reais.
{ a = 16
{ b = - 78
{ c = ?
{ d = ?
{ e = α = 71
{ f = - 5
Bons estudos!
Re: (Ita 1990) Polinômios
Enviado: Sáb 09 Fev, 2019 11:14
por Cardoso1979
Só um detalhe que somente agora eu percebi, não que esteja errado, mais o ideal é você representar as duas raízes complexas assim: x + yi e x - yi , pois do jeito que está ( a + bi e a - bi ) pode fazer confusão com os coeficientes do polinômio dado no caso a = 16 , b = - 78.
Re: (Ita 1990) Polinômios
Enviado: Sáb 09 Fev, 2019 13:13
por Hanon
Obrigado
Cardoso1979, o enunciado é esse mesmo!
Re: (Ita 1990) Polinômios
Enviado: Sáb 09 Fev, 2019 13:25
por Cardoso1979
Hanon escreveu: ↑Sáb 09 Fev, 2019 13:13
Obrigado
Cardoso1979, o enunciado é esse mesmo!
Olá!
Eu me expressei erroneamente, quando eu disse para você conferir o enunciado, na realidade era para vc acompanhar o que o enunciado diz ( para compreender o que eu fiz nas três primeiras linhas...). O enunciado eu sei que está correto
.
Abraços!
Re: (Ita 1990) Polinômios
Enviado: Ter 19 Fev, 2019 10:28
por mionsk
Show essa questão!!!