Ensino SuperiorÁrea sombreada Tópico resolvido

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Hanon
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Fev 2019 06 12:33

Área sombreada

Mensagem não lida por Hanon » Qua 06 Fev, 2019 12:33

O gráfico representa a função [tex3]f(x)=cos(x)[/tex3] no intervalo [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\][/tex3] . A reta [tex3]s[/tex3] é paralela ao eixo das abscissas e a reta [tex3]r[/tex3] é tangente ao gráfico da função [tex3]f[/tex3] em [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] .
Screenshot_20190206-112019~2.png
Screenshot_20190206-112019~2.png (30.41 KiB) Exibido 150 vezes
A área sombreada é igual a:
a) [tex3]\frac{\pi-3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\pi-1}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi+1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\pi+3}{2}[/tex3]




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Cardoso1979
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Fev 2019 06 20:08

Re: Área sombreada

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qua 06 Fev, 2019 20:08

Observe

Uma solução:

A equação da reta r tangente em ( π/2 , f( π/2 ) ) é:

y - f( π/2 ) = f'( π/2 ). [ x - ( π/2 ) ]

Então;

{ f(π/2) = cos (π/2) = 0
{ f'(π/2) = - sen (π/2) = - 1

Logo,

y - 0 = - 1.[ x - (π/2) ]

r : y = - x + (π/2)

Fazendo a interseção de s com r, temos:

1 = - x + ( π/2 )

x = ( π - 2 )/2

Daí;

( ( π - 2 )/2 , 1 ) → ( ponto de intersecção de s com r ).

Assim;

[tex3]A=\int\limits_{0}^{\frac{π-2}{2}}[1-cos(x)]dx+\int\limits_{\frac{π-2}{2}}^{\frac{π}{2}}[-x+\frac{π}{2}-cos (x)]dx=[/tex3]

[tex3]A=-1+\frac{π}{2}-cos(1)+cos(1)-\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\frac{π-3}{2}[/tex3] u.a., alternativa a).


Nota

Usei integrais , não sei se era o objetivo da questão! :lol:


Bons estudos!




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erihh3
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Fev 2019 06 21:05

Re: Área sombreada

Mensagem não lida por erihh3 » Qua 06 Fev, 2019 21:05

A ideia é fazer a área do trapézio formado pelas retas e eixos e subtrair da área da função cosseno no intervalo de [tex3]\[0,\frac{\pi}{2}\][/tex3] .

Daí,

Vamos determinar, primeiro, o ponto [tex3]P[/tex3] de intersecção das retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] .

Determinando equação da reta r:

1) No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]\cos x[/tex3] é nulo. Já que a reta [tex3]r[/tex3] tangência essa função nesse mesmo ponto, a reta também será nula nesse ponto.

2) A derivada da função [tex3]f[/tex3] é [tex3]f'(x)=-\sen x[/tex3] . No ponto [tex3]x=\pi/2[/tex3] , [tex3]f'(1)=-1[/tex3] , que é o coeficiente angular da reta r.

Deste modo,

[tex3]r: y=-x+\pi/2[/tex3]

A reta s é tranquila e sua equação é [tex3]s:y=1[/tex3]

Determinando o ponto de intersecção:

[tex3]1=-x+\pi/2[/tex3]
[tex3]x=\pi/2-1[/tex3]

Vamos determinar, agora, a área do trapézio:

[tex3]A_T=\frac{[(\pi/2-1)+(\pi/2)]\cdot 1}{2}[/tex3]

[tex3]A_T=\frac{\pi-1}{2}[/tex3]


Área da função cosseno:

[tex3]A_f=\int_0^{\pi/2} \cos x\; dx[/tex3]

[tex3]A_f=1[/tex3]

Deste modo,

[tex3]A=A_t-A_f[/tex3]

[tex3]A=\frac{\pi-1}{2}-1[/tex3]

[tex3]A=\frac{\pi-3}{2}[/tex3]


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Re: Área sombreada

Mensagem não lida por Hanon » Qui 07 Fev, 2019 04:05

Muito obrigado Cardoso1979 e erihh3, se eu pudesse daria solução aceita para os dois. :D :wink:




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