Legal o vídeo. Você dá aula no Sonnart? Eu fui de lá, que coincidência kkk.
Na época eu carteei, mas é uma das maneiras mais rápidas de verificar a questão pra um caso específico e de fato cartear que isso ali vale pra qualquer possível [tex3]f(z) \neq z[/tex3]
caso exista.
A função [tex3]f(z) = z[/tex3]
de fato satisfaz [tex3]|f(z)| = |z|[/tex3]
e ao mesmo tempo satisfaz [tex3]|f(z)-f(1)| = |z -1|[/tex3]
. Calculando um caso específico, supomos que isso possa ser generalizado, de modo que seja válido mesmo se existir alguma [tex3]f(z) \neq z[/tex3]
.
Existe uma maneira bem mais rápida de verificar isso e que de fato é formal, vou mostra-lá a seguir. Quem me ensinou essa foi o Ricardo Bertolucci.
[tex3]|f(z)-f(1)|=|z-1|[/tex3]
é uma isometria, então preserva o produto interno. Logo
[tex3]< f(z),f(1)> \ = \ < z,1> [/tex3]
O produto interno canônico de [tex3]\mathbb{C}[/tex3]
é [tex3]< z,w> \ := \ z\overline{w} + \bar{z}w [/tex3]
. Logo
[tex3]< f(z),f(1)> \ =\ z\cdot 1 + 1\cdot \bar{z} = 2Re(z) [/tex3]