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b) 140°
c) 120°
d) 150°
e) 130°
Resposta
a
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
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Flavio2020 
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Fev 2019
01
10:23
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico, [tex3]G[/tex3]
e [tex3]H[/tex3]
são baricentro e ortocentro do triângulo [tex3]ABC[/tex3]
. Cacule [tex3]\alpha [/tex3]
.
a) 160°
b) 140°
c) 120°
d) 150°
e) 130°
a
a) 160°
b) 140°
c) 120°
d) 150°
e) 130°
a
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2019
07
23:40
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
tem um resultado bem impressionante ai que eu não conhecia:
[tex3]P[/tex3] é o pé da altura de [tex3]H[/tex3] em relação a [tex3]AG[/tex3]
[tex3]\angle GAB = \angle CBP[/tex3]
acho que o ideal é fazer semelhança:
[tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BC[/tex3]
[tex3]\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{PM}[/tex3]
a questão é calcular [tex3]PM[/tex3] de uma forma esperta
[tex3]P[/tex3] é o pé da altura de [tex3]H[/tex3] em relação a [tex3]AG[/tex3]
[tex3]\angle GAB = \angle CBP[/tex3]
acho que o ideal é fazer semelhança:
[tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BC[/tex3]
[tex3]\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{PM}[/tex3]
a questão é calcular [tex3]PM[/tex3] de uma forma esperta
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 07 Fev, 2019 23:45). Total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2019
09
21:28
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
acho complexos uma boa
adotando um plano complexo com origem no circumcentro e com escala tal que o raio da circunscrita à [tex3]\Delta ABC[/tex3] seja [tex3]1[/tex3] .
[tex3]R=1[/tex3]
então o ortocentro é dado por [tex3]H = A+B+C[/tex3]
agora, [tex3]M = \frac{B+C}2[/tex3] a mediana é paralela ao vetor [tex3]\vec u =\vec{AM} = \frac{B+C}2 - A = \frac{B+C - 2A}{2}[/tex3]
queremos encontrar a projeção de [tex3]\vec v = \vec{AH}[/tex3] em [tex3]\vec u[/tex3]
para isso fazemos [tex3](B+C) \cdot \frac{(B+C-2A)}{|B+C - 2A|}[/tex3]
e portanto [tex3]PM = \frac{|B+C-2A|}2 - (B+C) \cdot \frac{(B+C-2A)}{|B+C - 2A|} = [/tex3]
[tex3]2|B+C-2A|PM = (B+C-2A)\cdot(B+C-2A) - 2(B+C) \cdot (B+C-2A) = (B+C+2A) \cdot(2A-B-C) = 4 - |B+C|^2[/tex3]
dividindo tudo por 4
[tex3]|AM| PM = 1 - |M|^2[/tex3]
agora olhe para o triângulo retângulo [tex3]\Delta BOM[/tex3] e repare que :
[tex3]|BM|^2 = R^2 - |M|^2 = 1 - |M|^2 = |AM| PM[/tex3]
portanto vale:
[tex3]\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{PM}[/tex3]
e os triângulos são semelhantes por LAL:
portanto:
[tex3]20 + B + 90 + \alpha + 90 -B = 360 \iff \alpha = 160°[/tex3]
Problemaço, muito interessante esse resultado
adotando um plano complexo com origem no circumcentro e com escala tal que o raio da circunscrita à [tex3]\Delta ABC[/tex3] seja [tex3]1[/tex3] .
[tex3]R=1[/tex3]
então o ortocentro é dado por [tex3]H = A+B+C[/tex3]
agora, [tex3]M = \frac{B+C}2[/tex3] a mediana é paralela ao vetor [tex3]\vec u =\vec{AM} = \frac{B+C}2 - A = \frac{B+C - 2A}{2}[/tex3]
queremos encontrar a projeção de [tex3]\vec v = \vec{AH}[/tex3] em [tex3]\vec u[/tex3]
para isso fazemos [tex3](B+C) \cdot \frac{(B+C-2A)}{|B+C - 2A|}[/tex3]
e portanto [tex3]PM = \frac{|B+C-2A|}2 - (B+C) \cdot \frac{(B+C-2A)}{|B+C - 2A|} = [/tex3]
[tex3]2|B+C-2A|PM = (B+C-2A)\cdot(B+C-2A) - 2(B+C) \cdot (B+C-2A) = (B+C+2A) \cdot(2A-B-C) = 4 - |B+C|^2[/tex3]
dividindo tudo por 4
[tex3]|AM| PM = 1 - |M|^2[/tex3]
agora olhe para o triângulo retângulo [tex3]\Delta BOM[/tex3] e repare que :
[tex3]|BM|^2 = R^2 - |M|^2 = 1 - |M|^2 = |AM| PM[/tex3]
portanto vale:
[tex3]\frac{AM}{BM} = \frac{BM}{PM}[/tex3]
e os triângulos são semelhantes por LAL:
portanto:
[tex3]20 + B + 90 + \alpha + 90 -B = 360 \iff \alpha = 160°[/tex3]
Problemaço, muito interessante esse resultado
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 10 Fev, 2019 03:06). Total de 1 vez.
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