IME / ITA ⇒ IME - Cálculo 2 - Plano tangente

[abc134213]

"O plano tangente à esfera x²+y²+z²=1 intersecta o eixo no ponto (3,0,0) e eixo y no ponto (0,2,0). Determine a equação deste plano.

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a equação do plano é [tex3]ax + by + cz + d=0 \iff 3a + d = 0 \iff a = -\frac d3\,\,,\,\,2b + d= 0 \iff b = -\frac d2\,\,[/tex3]

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[tex3]ax + by + cz + d=0 \iff 3a + d = 0 \iff a = -\frac d3\,\,,\,\,2b + d= 0 \iff b = -\frac d2\,\,[/tex3]

então a equação do plano é da forma
[tex3]-\frac13x -\frac12y + cz +1 = 0 \iff 2x + 3y + kz -6 = 0[/tex3]

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[tex3]-\frac13x -\frac12y + cz +1 = 0 \iff 2x + 3y + kz -6 = 0[/tex3]

da equação da distância do ponto ao plano:
[tex3]1 = \frac{6}{\sqrt{2^2 + 3^2 + k^2}} \iff k = \pm \sqrt{23}[/tex3]

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[tex3]1 = \frac{6}{\sqrt{2^2 + 3^2 + k^2}} \iff k = \pm \sqrt{23}[/tex3]

então os dois planos que passa por esses dois pontos e são tangentes à esfera são:
[tex3]2x + 3y \pm \sqrt{23}z - 6 = 0[/tex3]

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[tex3]2x + 3y \pm \sqrt{23}z - 6 = 0[/tex3]