IME / ITA ⇒ (EPCAR - 1963) Geometria Plana: Área de um Pentágono Tópico resolvido

[ALDRIN]

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Observe a figura acima. Você vai calcular a área do pentágono [tex3]OABCD[/tex3]

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[tex3]OABCD[/tex3]

mediante parcelamento dessa área em duas outras, sabendo-se que:

• [tex3]\overline{AO}=2,5\text{ m}[/tex3]

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  [tex3]\overline{AO}=2,5\text{ m}[/tex3]

  (raio do círculo circunscrito)
  [tex3]AD=[/tex3]

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  [tex3]AD=[/tex3]

  lado do triângulo eqüilátero inscrito
  [tex3]\overline{BC}=\overline{OA}[/tex3]

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  [tex3]\overline{BC}=\overline{OA}[/tex3]

  
  [tex3]BC\parallel AD[/tex3]

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  [tex3]BC\parallel AD[/tex3]

a) [tex3]\frac{25(2+\sqrt{3})}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{25(2+\sqrt{3})}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

b) [tex3]\frac{25}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{25}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

c) [tex3]\frac{25(1+\sqrt{3})}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{25(1+\sqrt{3})}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

d)[tex3]\frac{25\sqrt{3}}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{25\sqrt{3}}{8}\text{ m}^2.[/tex3]

e) [tex3]\frac{25}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{25}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

[fabit]

Podemos dividir em três partes, traçando [tex3]OB[/tex3]

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[tex3]OB[/tex3]

e [tex3]OC.[/tex3]

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[tex3]OC.[/tex3]

[tex3]OAB \text{ e } OCD[/tex3]

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[tex3]OAB \text{ e } OCD[/tex3]

são isósceles e [tex3]OBC[/tex3]

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[tex3]OBC[/tex3]

é equilátero.

• [tex3][OABCD]=2\cdot [OAB]+[OBC][/tex3]

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  [tex3][OABCD]=2\cdot [OAB]+[OBC][/tex3]

  
  
  [tex3][OBC] =\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{25}{4}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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  [tex3][OBC] =\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{25}{4}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{16}[/tex3]

  
  
  [tex3][OAB]=\frac{r^2}{2}\cdot \sin A\widehat{O}B=\frac{25/4}{2}\cdot \sin 30^\circ=\frac{25}{8}\cdot\frac{1}{2}.[/tex3]

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  [tex3][OAB]=\frac{r^2}{2}\cdot \sin A\widehat{O}B=\frac{25/4}{2}\cdot \sin 30^\circ=\frac{25}{8}\cdot\frac{1}{2}.[/tex3]

  
  
  [tex3][OABCD]=2\cdot \frac{25}{8}\cdot\frac{1}{2} +\frac{25\sqrt{3}}{16} =\frac{25}{8}+\frac{25\sqrt{3}}{16}=\frac{25\sqrt{3}+50}{16}=\frac{25(\sqrt{3}+2)}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

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  [tex3][OABCD]=2\cdot \frac{25}{8}\cdot\frac{1}{2} +\frac{25\sqrt{3}}{16} =\frac{25}{8}+\frac{25\sqrt{3}}{16}=\frac{25\sqrt{3}+50}{16}=\frac{25(\sqrt{3}+2)}{16}\text{ m}^2.[/tex3]

Letra (a).