IME / ITA ⇒ (ITA) Circunferência Tópico resolvido

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Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo OX e a reta r: X-Y=0. Sabendo-se que a potência do ponto O=(0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são , respectivamente, iguais a :

a) (2,2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-2) e 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-2
b) (2,[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}[/tex3]

) e [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}[/tex3]

c) (2,[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-1) e [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-1
d) (2,2-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

) e 2-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

e) (2,4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-4) e 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

-4

Resposta

---

e

[petras]

Se a potência do ponto O (0;0) em relação à circunferência é 4, então, OT² = 4 ⇒ OT = 2, assim,
o centro A da circunferência tem coordenadas A(2;R).

II) A distância do ponto A à reta r equivale ao raio R da circunferência, então
[tex3]\mathsf{R=\frac{|x_A-y_A|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|2-R|}{\sqrt{2}}\rightarrow \\
\sqrt{2}\cdot R=|2-R|\rightarrow 2R^2=4-4R+R^2\rightarrow R^2+4R-4=0\\
\therefore como~R>0\rightarrow R=2\sqrt{2}-2\rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{ C(2,2\sqrt{2}-2); R=2\sqrt{2}-2}}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{R=\frac{|x_A-y_A|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|2-R|}{\sqrt{2}}\rightarrow \\
\sqrt{2}\cdot R=|2-R|\rightarrow 2R^2=4-4R+R^2\rightarrow R^2+4R-4=0\\
\therefore como~R>0\rightarrow R=2\sqrt{2}-2\rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{ C(2,2\sqrt{2}-2); R=2\sqrt{2}-2}}}}[/tex3]

(Resolução Objetivo)