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b)10
c)9
d)8
e)15
Resposta
c
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Jan 2019
23
04:36
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico,B e D são pontos de tangência,4(AC)=3(CE),AF=FE e BG=12.Calcule GD.
a)12
b)10
c)9
d)8
e)15
c
b)10
c)9
d)8
e)15
c
-
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Jan 2019
23
18:24
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
trace uma paralela [tex3]\ell[/tex3]
a [tex3]AE[/tex3]
por [tex3]C[/tex3]
e seja
[tex3]K = \ell \cap BD[/tex3]
como [tex3]K[/tex3] está na polar de [tex3]C[/tex3] ([tex3]DB[/tex3] ) então [tex3]C[/tex3] está na polar de [tex3]K[/tex3] . Chamemos essa polar de [tex3]k[/tex3] e seja [tex3]G' = k \cap BD[/tex3] . Então da propriedade de polares temos [tex3]\mathcal H(B,D;G',K)[/tex3] mais que isso:
[tex3]BDG'K \frac{C}{\overline \wedge} AEG^*\infty[/tex3]
mas então [tex3]\mathcal H(A,E;G^*,\infty) \implies G^* = F \implies G'=G[/tex3] e que a reta [tex3]CGF[/tex3] é a polar de [tex3]K[/tex3]
portanto [tex3]\frac{BK}{DK} = \frac{BG}{DG}[/tex3]
deve ter um jeito mais esperto de fazer essa próxima parte, mas eu apelei pra trigonometria:
[tex3]\alpha = \angle CBD, \beta = \angle CKB[/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta CDK[/tex3]
[tex3]\frac{DC}{\sen \beta} = \frac{ DK}{\sen(\beta +180 - \alpha)} = \frac{DK}{\sen(\alpha - \beta)} [/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta CBK[/tex3]
[tex3]\frac{CB}{\sen \beta} = \frac{BK}{\sen (\alpha+\beta)} = \frac{DC}{\sen \beta} = \frac{DK}{\sen(\alpha - \beta)}[/tex3]
[tex3]\frac{BK}{DK} = \frac{\sen (\alpha + \beta)}{\sen(\alpha - \beta)} = \frac{\sen(\angle CAE)}{\sen(2\alpha-A)} = \frac{\sen(\angle CAE)}{\sen(180-C-A)} = \frac{\sen (\angle CAE)}{\sen(\angle AEC)} = \frac{4}{3}[/tex3]
logo
[tex3]\frac{BG}{DG} = \frac{4}{3} \iff DG = 9[/tex3]
[tex3]K = \ell \cap BD[/tex3]
como [tex3]K[/tex3] está na polar de [tex3]C[/tex3] ([tex3]DB[/tex3] ) então [tex3]C[/tex3] está na polar de [tex3]K[/tex3] . Chamemos essa polar de [tex3]k[/tex3] e seja [tex3]G' = k \cap BD[/tex3] . Então da propriedade de polares temos [tex3]\mathcal H(B,D;G',K)[/tex3] mais que isso:
[tex3]BDG'K \frac{C}{\overline \wedge} AEG^*\infty[/tex3]
mas então [tex3]\mathcal H(A,E;G^*,\infty) \implies G^* = F \implies G'=G[/tex3] e que a reta [tex3]CGF[/tex3] é a polar de [tex3]K[/tex3]
portanto [tex3]\frac{BK}{DK} = \frac{BG}{DG}[/tex3]
deve ter um jeito mais esperto de fazer essa próxima parte, mas eu apelei pra trigonometria:
[tex3]\alpha = \angle CBD, \beta = \angle CKB[/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta CDK[/tex3]
[tex3]\frac{DC}{\sen \beta} = \frac{ DK}{\sen(\beta +180 - \alpha)} = \frac{DK}{\sen(\alpha - \beta)} [/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta CBK[/tex3]
[tex3]\frac{CB}{\sen \beta} = \frac{BK}{\sen (\alpha+\beta)} = \frac{DC}{\sen \beta} = \frac{DK}{\sen(\alpha - \beta)}[/tex3]
[tex3]\frac{BK}{DK} = \frac{\sen (\alpha + \beta)}{\sen(\alpha - \beta)} = \frac{\sen(\angle CAE)}{\sen(2\alpha-A)} = \frac{\sen(\angle CAE)}{\sen(180-C-A)} = \frac{\sen (\angle CAE)}{\sen(\angle AEC)} = \frac{4}{3}[/tex3]
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[tex3]\frac{BG}{DG} = \frac{4}{3} \iff DG = 9[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 23 Jan, 2019 18:27). Total de 2 vezes.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019
23
19:08
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
acho que o jeito um pouco mais esperto é enxergar antes que [tex3]\angle KCB = \angle CAE[/tex3]
por conta do paralelismo e que então [tex3]\angle ECK = 180 - \angle AEC[/tex3]
mas ainda assim precisa de uma lei dos senos
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