Ensino Médio

Determine explicitamente uma função [tex3]f:\Re^*\rightarrow \Re[/tex3] tal que [tex3]f(2x+1) = 3\cdot f(x)+5[/tex3] , para todo [tex3]x\in \Re^*[/tex3] , [tex3]f(0) = 0[/tex3] .

[tex3]f(x) = g(x) + c[/tex3]
[tex3]g(2x+1) + c = 3g(x) +3c + 5[/tex3]
[tex3]g(2x+1) = 3g(x) + 5 + 2c[/tex3]
[tex3]c = -\frac52[/tex3]
[tex3]g(2x+1) = 3g(x)[/tex3]
[tex3]g(0) = \frac52[/tex3]
[tex3]g(1) = \frac{3\cdot5}2[/tex3]
[tex3]g(3) = \frac{3^2 \cdot 5}2[/tex3]
[tex3]g(7) = \frac{3^3 \cdot 5}2[/tex3]

como ele só pede uma, chute: [tex3]g(x) = 3^{\log_2(x+1)} \cdot \frac52[/tex3]
veja que [tex3]g(2x+1) = 3^{\log_2(2x+2)} g(0) = 3^{\log_2(x+1) +1}g(0) = 3g(x)[/tex3]
então uma possível função é [tex3]f(x) = \frac52(3^{\log_2(x+1)}-1)[/tex3]

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