IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

No gráfico, [tex3](PQ)(BH)=24[/tex3] . Calcule a área a região triangular [tex3]PQS[/tex3] .
yyy.PNG
yyy.PNG (14.39 KiB) Exibido 912 vezes
a) 24
b) 12
c) 16
d) 8
e) 18
Resposta

a




danjr5
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Jan 2019 26 21:45

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá Flávio!
trian.rect.png
trian.rect.png (39.35 KiB) Exibido 789 vezes
Inicialmente, considere [tex3]\displaystyle \mathtt{\widehat{C} = \alpha}[/tex3] . Feito isto, não será difícil perceber que [tex3]\displaystyle \mathtt{\theta + \alpha = 90^o}[/tex3] . Assim, perceberá também que os ângulos da figura se restringem à [tex3]\displaystyle \mathtt{\theta}[/tex3] e [tex3]\displaystyle \mathtt{\alpha}[/tex3] !

Por conseguinte, trace uma reta paralela ao segmento [tex3]\displaystyle \mathtt{\overline{AB}}[/tex3] passando pelo ponto [tex3]\displaystyle \mathtt{D}[/tex3] . Feito isto, tiramos diversas conclusões a cerca da figura... Por exemplo, o quadrilátero [tex3]\displaystyle \mathtt{BPMD}[/tex3] é um retângulo, o [tex3]\displaystyle \mathtt{\Delta PSD}[/tex3] é isósceles,...! Com efeito, [tex3]\displaystyle \mathtt{BD \equiv PM \equiv MS}[/tex3] e [tex3]\displaystyle \mathtt{\Delta PQS \sim \Delta DHB}[/tex3]

Isto posto, determinamos a medida do segmento [tex3]\displaystyle \mathtt{\overline{QS}}[/tex3] . Segue,

[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\overline{QS}}{24/x} = \frac{2y}{y}} \\\\\\ \mathsf{\overline{QS} = 2 \cdot \frac{24}{x}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\overline{QS} = \frac{48}{x}}}[/tex3]


Por fim, determinamos a área do triângulo retângulo PQS... Veja:

[tex3]\\ \displaystyle \mathsf{A = \frac{\overline{PQ} \cdot \overline{QS}}{2}} \\\\\\ \mathsf{A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{48}{x}} \\\\\\ \mathsf{A = \frac{48}{2}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{A = 24}}}[/tex3]



"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019 26 23:14

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Prova de que [tex3]\angle QPS = \theta[/tex3] :

temos então
[tex3]\frac{AP}{AB} = 1 - \frac{BP}{AB} = 1 - \frac{BD \cdot \tg \theta}{AB} = 1 - \frac{BD \cdot \tg^2 \theta}{BC}= [/tex3]
[tex3]1 - \frac{(BC - DC) \cdot \tg^2 \theta}{BC}= 1 - \tg^2 \theta + \tg^2\theta \frac{DC}{BC} = 1 - \tg^2 \theta + \sen \theta \sec^2\theta \frac{SC}{BC} = [/tex3]
[tex3]= 1 - tg^2 \theta + \sec^2 \theta \frac{SC}{AC} = 1 - tg^2 \theta + \sec^2 \theta \frac{(AC - AS)}{AC} = \frac{AS}{AC}[/tex3]
logo
[tex3]PS\parallel BC[/tex3]




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