IME / ITA ⇒ (ITA - 1993)- Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Dada a expressão P (x)=[tex3]\sen \theta - \\tan \theta [/tex3]

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[tex3]\sen \theta - \\tan \theta [/tex3]

x + [tex3](\sec \theta )^{2}x^{2}[/tex3]

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[tex3](\sec \theta )^{2}x^{2}[/tex3]

, determine os valores de [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

no intervalo [0;2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

] tais que P (x) admita somente raízes reais.

Resposta

---

[tex3][\pi ;\frac{3\pi }{2}[U]\frac{3\pi }{2};2\pi ][/tex3]

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[tex3][\pi ;\frac{3\pi }{2}[U]\frac{3\pi }{2};2\pi ][/tex3]

[erihh3]

Para ter apenas raízes reais, [tex3]\Delta>0[/tex3]

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[tex3]\Delta>0[/tex3]

.

[tex3]\tan^2(\theta)-4.\sen(\theta).\sec^2(\theta)>0[/tex3]

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[tex3]\tan^2(\theta)-4.\sen(\theta).\sec^2(\theta)>0[/tex3]

Sabemos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3]

por conta da existência da tangente. Vamos multiplicar, então, ambos os lados por [tex3]\cos^2(\theta)[/tex3]

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[tex3]\cos^2(\theta)[/tex3]

[tex3]\sen^2(\theta)-4.\sen(\theta)>0[/tex3]

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[tex3]\sen^2(\theta)-4.\sen(\theta)>0[/tex3]

[tex3]sen(\theta)[\sen(\theta)-4]>0[/tex3]

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[tex3]sen(\theta)[\sen(\theta)-4]>0[/tex3]

[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3]

uma vez que [tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3]

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[tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3]

.

Deste modo, basta analisar

[tex3]\sen(\theta)<0[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)<0[/tex3]

Daí,

[tex3]\theta\in[\pi,2\pi][/tex3]

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[tex3]\theta\in[\pi,2\pi][/tex3]

No entanto, como vimos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3]

. Assim, [tex3]\theta\neq\pi/2[/tex3]

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[tex3]\theta\neq\pi/2[/tex3]

e [tex3]\theta\neq3\pi/2[/tex3]

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[tex3]\theta\neq3\pi/2[/tex3]

Portanto,

[tex3]\theta\in[\pi,2\pi]-\{3\pi/2\}[/tex3]

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[tex3]\theta\in[\pi,2\pi]-\{3\pi/2\}[/tex3]

[petras]

erihh3,
Por que não se analisa as duas parcelas sendo positivas?

[erihh3]

[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3]

uma vez que [tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3]

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[tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3]

.

É porque o [tex3]\sen(\theta)[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)[/tex3]

sempre será menor que 4 por conta dele ser limitado entre 1 e -1. Se a segunda parcela fosse [tex3]\sen(\theta)-1/2[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)-1/2[/tex3]

, por exemplo, eu iria ter que fazer a análise do segundo termo também.