Dados x, y e z reais positivos com xyz = 1, Prove que:
[tex3]\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}
+\frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5}\geq 0[/tex3]
IME / ITA ⇒ IME/ITA 2° Fase
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2018
09
23:00
Re: IME/ITA 2° Fase
[tex3]\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}
+\frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} = 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}
+\frac{1}{x^2+y^2+z^5})[/tex3]
[tex3]= 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^5+y^3xz+z^3xy}+\frac{1}{x^3yz+y^5+z^3yx}
+\frac{1}{x^3yz+y^3xz+z^5}) =[/tex3]
[tex3]= 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x(x^4+y^3z+z^3y)}+\frac{1}{y(x^3z+y^4+z^3x)}
+\frac{1}{z(x^3y+y^3x+z^4)})[/tex3]
cabe aqui a desigualdade das médias
[tex3]x^4 + y^3z + z^3y \geq 3 \iff \frac1{x^4 + y^3z + z^3y} \leq \frac13[/tex3]
logo
[tex3]3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x(x^4+y^3z+z^3y)}+\frac{1}{y(x^3z+y^4+z^3x)}
+\frac{1}{z(x^3y+y^3x+z^4)}) \geq 3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)(\frac1x + \frac 1y + \frac1z)[/tex3]
to pensando em como trabalhar essa última parte, não parece difícil, mas minha ideia abaixo não deu certo
[tex3]\geq 3 - \frac13(x^2+y^2+z^2)(xy + yz+xz)[/tex3]
como
[tex3](x-y)^2+(y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0 \implies x^2 + y^2+z^2 \geq xy + yz+xz[/tex3]
[tex3]3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)(\frac1x + \frac 1y + \frac1z) \geq 3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)^2 [/tex3]
da desigualdade das médias
[tex3]x^2 + y^2 + z^2 \geq 3 \iff (x^2+y^2+z^2)^2 \geq 9 \iff 3 - \frac 13(x^2+y^2+z^2)^2 \leq 0[/tex3] não serve
minha resposta não deu certo, parece que a desigualdade das médias foi fraca na hora de trabalhar os denominadores [tex3]x^5+y^2+z^2[/tex3]
+\frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} = 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}
+\frac{1}{x^2+y^2+z^5})[/tex3]
[tex3]= 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^5+y^3xz+z^3xy}+\frac{1}{x^3yz+y^5+z^3yx}
+\frac{1}{x^3yz+y^3xz+z^5}) =[/tex3]
[tex3]= 3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x(x^4+y^3z+z^3y)}+\frac{1}{y(x^3z+y^4+z^3x)}
+\frac{1}{z(x^3y+y^3x+z^4)})[/tex3]
cabe aqui a desigualdade das médias
[tex3]x^4 + y^3z + z^3y \geq 3 \iff \frac1{x^4 + y^3z + z^3y} \leq \frac13[/tex3]
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[tex3]3 - (x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x(x^4+y^3z+z^3y)}+\frac{1}{y(x^3z+y^4+z^3x)}
+\frac{1}{z(x^3y+y^3x+z^4)}) \geq 3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)(\frac1x + \frac 1y + \frac1z)[/tex3]
to pensando em como trabalhar essa última parte, não parece difícil, mas minha ideia abaixo não deu certo
Resposta
[tex3]\geq 3 - \frac13(x^2+y^2+z^2)(xy + yz+xz)[/tex3]
como
[tex3](x-y)^2+(y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0 \implies x^2 + y^2+z^2 \geq xy + yz+xz[/tex3]
[tex3]3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)(\frac1x + \frac 1y + \frac1z) \geq 3 - \frac13(x^2+y^2 + z^2)^2 [/tex3]
da desigualdade das médias
[tex3]x^2 + y^2 + z^2 \geq 3 \iff (x^2+y^2+z^2)^2 \geq 9 \iff 3 - \frac 13(x^2+y^2+z^2)^2 \leq 0[/tex3] não serve
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 09 Dez, 2018 23:21). Total de 2 vezes.
Jan 2019
01
12:23
Re: IME/ITA 2° Fase
Entendi, vou ver se consigo trabalhar em cima disso que você fez
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