IME / ITA ⇒ IME/ITA-Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

Em um romboide A´, B´, C´e D´são simétricos de A B, C e D respectivamente de CD, AD, AB e BC, nessa ordem. Se a medida do ângulo C´D´A´=130°, calcule a medida do ângulo D´A´B´.
a)130°
b)65°
c)100°
d)50°
e)80°

Resposta

---

d

[joaopcarv]

Seja [tex3]\mathsf{ABCD}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{ABCD}[/tex3]

um romboide de lados [tex3]\mathsf{\overline{AB} \ = \ \overline{CD} \ = \ n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{AB} \ = \ \overline{CD} \ = \ n}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\overline{AD} \ = \ \overline{BC} \ = \ j}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\overline{AD} \ = \ \overline{BC} \ = \ j}[/tex3]

, com ângulos [tex3]\mathsf{\alpha \ + \ \beta \ = \ 180^\circ.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\alpha \ + \ \beta \ = \ 180^\circ.}[/tex3]

Ao prolongarmos os lados na simetria proposta pelo enunciado (ou seja, mantendo as distâncias [tex3]\mathsf{j, n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{j, n}[/tex3]

entre os pontos), teremos a seguinte construção:

Desenho01.jpg (14.21 KiB) Exibido 731 vezes

Ao ligarmos as projeções [tex3]\mathsf{A', B', C', D'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A', B', C', D'}[/tex3]

entre si, teremos dois triângulos correspondentes entre si:

[tex3]\mathsf{\triangle AA'B' \ = \ \triangle CC'D'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle AA'B' \ = \ \triangle CC'D'}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\triangle BB'C' \ = \ \triangle ADD'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle BB'C' \ = \ \triangle ADD'}[/tex3]

(ambos os casos [tex3]\mathsf{L-A-L}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{L-A-L}[/tex3]

), como pode se ver em:

Desenho02.jpg (23.56 KiB) Exibido 731 vezes

Para provarmos isso, usaremos a marcação de ângulos:

Desenho03.jpg (26.05 KiB) Exibido 731 vezes

O ângulo [tex3]\mathsf{\zeta}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\zeta}[/tex3]

, em [tex3]\mathsf{\triangle AA'B' \ | \ \triangle CC'D'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle AA'B' \ | \ \triangle CC'D'}[/tex3]

é o oposto ao lado [tex3]\mathsf{2\cdot j}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2\cdot j}[/tex3]

e o ângulo [tex3]\mathsf{\mu}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\mu}[/tex3]

é o oposto ao lado [tex3]\mathsf{j}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{j}[/tex3]

nos triângulos [tex3]\mathsf{\triangle BB'C' \ | \ \triangle ADD'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\triangle BB'C' \ | \ \triangle ADD'}[/tex3]

, de forma que [tex3]\mathsf{\zeta \ + \ \mu \ = \ C'\widehat{D'}A' \ = \ 130^\circ}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\zeta \ + \ \mu \ = \ C'\widehat{D'}A' \ = \ 130^\circ}[/tex3]

.

Analogamente, temos os pares de ângulos [tex3]\mathsf{\lambda \ + \ \psi \ = \ D'\widehat{A'}B'}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\lambda \ + \ \psi \ = \ D'\widehat{A'}B'}[/tex3]

.

Pela figura, percebe-se a correspondência de ângulos, de forma que:

[tex3]\mathsf{\underbrace{2\cdot130^\circ}_{C'\widehat{D'}A' \ = \ A'\widehat{B'}C'} \ + \ \mathsf{\underbrace{2\cdot D'\widehat{A'}B'}_{D'\widehat{A'}B' \ = \ B'\widehat{C'}D' \ = \ \lambda \ + \ \psi}} \ = \ 360^\circ \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\underbrace{2\cdot130^\circ}_{C'\widehat{D'}A' \ = \ A'\widehat{B'}C'} \ + \ \mathsf{\underbrace{2\cdot D'\widehat{A'}B'}_{D'\widehat{A'}B' \ = \ B'\widehat{C'}D' \ = \ \lambda \ + \ \psi}} \ = \ 360^\circ \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{130^\circ \ + \ D'\widehat{A'}B' \ = \ 180^\circ \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{130^\circ \ + \ D'\widehat{A'}B' \ = \ 180^\circ \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{D'\widehat{A'}B' \ = \ 50^\circ}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{D'\widehat{A'}B' \ = \ 50^\circ}}}[/tex3]