IME / ITAIME - 94 Complexos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Killin
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IME - 94 Complexos

Mensagem não lida por Killin »

Considere os números complexos z = x + yi e w = y - xi, cujos módulos são tais que [tex3]|z|=e^{|w| \cdot \frac{\sqrt{3}}{x}}[/tex3] e [tex3]|w|=e^{|z| \cdot \frac{1}{y}}[/tex3] , onde e é a base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de [tex3]z^2[/tex3] .

Resposta

[tex3]e^{\pm 4} \cdot cis (\pi/3) [/tex3]



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GiovanaMSP
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Nov 2018 19 20:00

Re: IME - 94 Complexos

Mensagem não lida por GiovanaMSP »

[tex3]|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ \wedge\ |w|=\sqrt{x^2+y^2}\ \therefore\ |z|=|w|\\\\\therefore\ e^{|w|\frac{\sqrt{3}}{x}}=e^{|z|\frac{1}{y}}\to |w|\frac{\sqrt{3}}{x}=|z|\frac{1}{y}\to x=y\sqrt{3}\\\\Mas,\ |z|=|w|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(y\sqrt{3})^2+y^2}=2|y|\\\\\therefore\ |w|=2|y|\to e^{|z|\frac{1}{y}} =2|y|\to e^{\frac{2|y|}{y}}=2|y|\to \begin{cases}
y=\pm \frac{e^{\pm 2}}{2} \\
x=\pm \frac{e^{\pm 2}\sqrt{3}}{2}
\end{cases}\\\\\therefore\ z=\pm e^{\pm 2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)\to z=\pm e^{\pm 2}e^{i\frac{\pi }{6}}\therefore\ \boxed {z^2=e^{\pm 4}e^{i\frac{\pi }{3}}=e^{\pm 4}cis\left(\frac{\pi }{3}\right)}[/tex3]

Última edição: GiovanaMSP (Seg 19 Nov, 2018 20:01). Total de 1 vez.



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