IME / ITA ⇒ IME Complexos Tópico resolvido

[Killin]

Os complexos a, b, c têm como imagem os vértices de um triângulo equilátero. Calcule [tex3]a^2+b^2+c^2 -bc-ca-ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2+c^2 -bc-ca-ab[/tex3]

Resposta

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0

[Ittalo25]

[tex3](a-b)+(b-c)+(c-a)=0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)+(b-c)+(c-a)=0 [/tex3]

[tex3]\overline {(a-b)}+\overline {(b-c)}+\overline {(c-a)}=\overline {0} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline {(a-b)}+\overline {(b-c)}+\overline {(c-a)}=\overline {0} [/tex3]

Usando que: [tex3]|x|^2= x \cdot \overline {x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|^2= x \cdot \overline {x}[/tex3]

[tex3]\overline {(a-b)}+\overline {(b-c)}+\overline {(c-a)}=\overline {0} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline {(a-b)}+\overline {(b-c)}+\overline {(c-a)}=\overline {0} [/tex3]

[tex3]\frac{|a-b|^2}{a-b}+\frac{|b-c|^2}{b-c}+\frac{|c-a|^2}{c-a}=0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{|a-b|^2}{a-b}+\frac{|b-c|^2}{b-c}+\frac{|c-a|^2}{c-a}=0 [/tex3]

Mas como é um triângulo equilátero, tem-se que [tex3]|a-b|=|b-c|=|c-a| [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|a-b|=|b-c|=|c-a| [/tex3]

[tex3]\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=0 [/tex3]

[tex3]a^2+b^2+c^2 -bc-ca-ab=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2+c^2 -bc-ca-ab=0[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

acho que essa foi a prova mais rápida que eu vi desse resultado!