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b)74°
c)69°
d)60°
e)75°
Resposta
a
IME / ITA ⇒ IME/ITA-Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Nov 2018
16
16:40
IME/ITA-Geometria Plana
No gráfico, T é ponto de tangência e ABCD é um quadrado. Se I é o incentro do triângulo EBC, calcule [tex3]\alpha [/tex3]
.
a)82°
b)74°
c)69°
d)60°
e)75°
a
b)74°
c)69°
d)60°
e)75°
a
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Nov 2018
16
18:18
Re: IME/ITA-Geometria Plana
vou começar
[tex3]\ell = AB[/tex3]
[tex3]x = EA = ET[/tex3]
pitágoras em [tex3]EBC[/tex3]
[tex3](\ell+x)^2 = (\ell-x)^2 + \ell^2 \iff x = \frac{\ell}4[/tex3]
logo [tex3]\angle ECB = 37[/tex3]
o raio do incírculo de [tex3]ECB[/tex3] é [tex3]\frac{BC+BE-EC}2 = \frac{\ell-2x}{2} = \frac \ell 4[/tex3]
seja [tex3]P[/tex3] o pé da altura de [tex3]I[/tex3] em relação à [tex3]EC[/tex3]
o triângulo [tex3]\Delta EIP[/tex3] é notável pois [tex3]tg(\frac{53}2) = \frac12[/tex3]
então [tex3]EP = \frac \ell 2 \implies TP = \frac \ell 2 - \frac \ell 4 = \frac \ell 4[/tex3]
de onde [tex3]\angle ITP = 45[/tex3] (não é possível que não tenha uma saída sem contas pra isso hahaha)
completando os ângulos do quadrilátero ali no canto inferior esquerdo:
[tex3]90 + (180-53) + (180 -\alpha) + 45 = 360 \iff\alpha = 45 + 37 = 82[/tex3]
acho que se você completar o círculo e refletir a figura conseguirá encontrar uma forma de ver que [tex3]\angle ITP = 45[/tex3] , [tex3]\angle ADT = \frac{53}2[/tex3]
[tex3]\ell = AB[/tex3]
[tex3]x = EA = ET[/tex3]
pitágoras em [tex3]EBC[/tex3]
[tex3](\ell+x)^2 = (\ell-x)^2 + \ell^2 \iff x = \frac{\ell}4[/tex3]
logo [tex3]\angle ECB = 37[/tex3]
o raio do incírculo de [tex3]ECB[/tex3] é [tex3]\frac{BC+BE-EC}2 = \frac{\ell-2x}{2} = \frac \ell 4[/tex3]
seja [tex3]P[/tex3] o pé da altura de [tex3]I[/tex3] em relação à [tex3]EC[/tex3]
o triângulo [tex3]\Delta EIP[/tex3] é notável pois [tex3]tg(\frac{53}2) = \frac12[/tex3]
então [tex3]EP = \frac \ell 2 \implies TP = \frac \ell 2 - \frac \ell 4 = \frac \ell 4[/tex3]
de onde [tex3]\angle ITP = 45[/tex3] (não é possível que não tenha uma saída sem contas pra isso hahaha)
completando os ângulos do quadrilátero ali no canto inferior esquerdo:
[tex3]90 + (180-53) + (180 -\alpha) + 45 = 360 \iff\alpha = 45 + 37 = 82[/tex3]
acho que se você completar o círculo e refletir a figura conseguirá encontrar uma forma de ver que [tex3]\angle ITP = 45[/tex3] , [tex3]\angle ADT = \frac{53}2[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 16 Nov, 2018 20:50). Total de 3 vezes.
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2018
17
08:18
Re: IME/ITA-Geometria Plana
consegui provar que [tex3]\angle ITP = 45[/tex3]
sem fazer contas:
[tex3]\angle IDT = \angle IDA - \angle ADT = 45 - \frac{53}2 = \frac{37}2 = \angle ICT[/tex3]
logo o quadrilátero [tex3]ICBT[/tex3] é cíclico então [tex3]\angle ITC= \angle IBC =45[/tex3]
[tex3]\angle IDT = \angle IDA - \angle ADT = 45 - \frac{53}2 = \frac{37}2 = \angle ICT[/tex3]
logo o quadrilátero [tex3]ICBT[/tex3] é cíclico então [tex3]\angle ITC= \angle IBC =45[/tex3]
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