IME / ITA ⇒ IME/ITA-Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

Se E é o excêntrico do triângulo ABC relativo ao lado BC, AC=2(BC)=8 e AB=6, calcule EM. Considerando que AB||EM.

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a)2,4
b)3
c)3,6
d)4
e)4,8

Resposta

---

e

[Ittalo25]

df.png (18.2 KiB) Exibido 859 vezes

Lei dos cossenos em ABC:

[tex3]4^2=6^2+8^2-2\cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(2x) \rightarrow cos(2x) = \frac{7}{8} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^2=6^2+8^2-2\cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(2x) \rightarrow cos(2x) = \frac{7}{8} [/tex3]

A área de ABC é dada então por: [tex3][ABC]=\frac{6\cdot 8 \cdot sen(2x)}{2} = 3\sqrt{15} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC]=\frac{6\cdot 8 \cdot sen(2x)}{2} = 3\sqrt{15} [/tex3]

Pela fórmula de área usando o ex-raio: [tex3](\frac{6+8+4}{2}-4)\cdot DE= 3\sqrt{15}\rightarrow DE=\frac{3\sqrt{15}}{5} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{6+8+4}{2}-4)\cdot DE= 3\sqrt{15}\rightarrow DE=\frac{3\sqrt{15}}{5} [/tex3]

Temos que [tex3]AD =\frac{6+8+4}{2}=9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AD =\frac{6+8+4}{2}=9 [/tex3]

. (Demonstração)

Então: [tex3]AE^2 = AD^2+DE^2 = \frac{432}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AE^2 = AD^2+DE^2 = \frac{432}{5}[/tex3]

Lei dos cossenos em AME:

[tex3]AE^2 = AM^2+ME^2 - 2\cdot AM \cdot ME \cdot cos(180^o-2x) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AE^2 = AM^2+ME^2 - 2\cdot AM \cdot ME \cdot cos(180^o-2x) [/tex3]

[tex3]\frac{432}{5} = 2ME^2 + 2\cdot ME^2 \cdot cos(2x) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{432}{5} = 2ME^2 + 2\cdot ME^2 \cdot cos(2x) [/tex3]

[tex3]\boxed{ME=4,8} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{ME=4,8} [/tex3]

[Flavio2020]

Solução completa..
Parabéns Ittalo.