IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Angelita]

No gráfico abaixo, AB=[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

e BC=2. Calcule a medida do arco AC.

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a)98°
b)106°
c)120°
d)127°
e)135°

Resposta

---

c

[Killin]

Ligando A com C temos um triângulo retângulo KAC retângulo em Â. Logo, o ângulo BAC vale 45º.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BAC:

[tex3]2^2=(\sqrt{2})^2+AC^2-2\sqrt{2}AC\cdot cos \ 45º \\ 4=2+AC^2-2AC \\ AC^2-2AC-2=0 \Rightarrow AC=1+\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^2=(\sqrt{2})^2+AC^2-2\sqrt{2}AC\cdot cos \ 45º \\ 4=2+AC^2-2AC \\ AC^2-2AC-2=0 \Rightarrow AC=1+\sqrt{3}[/tex3]

Aplicando novamente a Lei dos Cossenos,

[tex3](1+\sqrt{3})^2=\sqrt{2}^2+2^2-2\sqrt{2}\cdot2\cdot cos \ x \\ 1 +2\sqrt{3}+3=2+4-4\sqrt{2}cosx \\ 4 \sqrt{2} cos x=2-2\sqrt{3} \\ cos x=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=-cos \ 75º=cos \ 105º[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+\sqrt{3})^2=\sqrt{2}^2+2^2-2\sqrt{2}\cdot2\cdot cos \ x \\ 1 +2\sqrt{3}+3=2+4-4\sqrt{2}cosx \\ 4 \sqrt{2} cos x=2-2\sqrt{3} \\ cos x=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=-cos \ 75º=cos \ 105º[/tex3]

Então o ângulo ABK vale 180 - 105 = 75 e portanto AKB vale 60º -> arco AC vale 120º.