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Claramente BHE e NHM são semelhantes, disso tem-se: [tex3]\frac{HB}{HN} = \frac{BE}{MN} = \frac{b}{a}[/tex3]
Também OMD e OEB são congruentes, então [tex3]ND= b-a [/tex3]
, mas [tex3]BC=AD [/tex3]
, ou seja [tex3]AM=a [/tex3]
Claramente BEG e AMG são semelhantes, disso tem-se [tex3]\frac{BG}{AG} = \frac{BE}{AM} = \frac{b}{a}\rightarrow \frac{AB}{AG}=\frac{b}{a}-1[/tex3]
Teorema de ceva em BGN:
[tex3]\frac{AB\cdot HN \cdot FG}{AG\cdot FN \cdot HB} = 1[/tex3]
[tex3](\frac{b}{a}-1) \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{FG}{FN } = 1[/tex3]
[tex3]\boxed { \frac{FG}{FN } = \frac{b}{b-a}}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]