IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

No gráfico, B, E e F são pontos de tangência e ABCD é um quadrado de lado 2.Calcule (DF)² - (AF)².

quadrado.PNG (15.69 KiB) Exibido 811 vezes

a)6
b)10
c)9
d)8
e)7

Resposta

---

d

[jvmago]

Não me parece difícil, deixa eu preparar o café aqui!

[jvmago]

Seja [tex3]O [/tex3]

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[tex3]O [/tex3]

o centro da circunferência, temos que [tex3]O,B,C[/tex3]

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[tex3]O,B,C[/tex3]

são colineares e portanto o raio [tex3]r=2[/tex3]

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[tex3]r=2[/tex3]

Traçando [tex3]OF=2[/tex3]

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[tex3]OF=2[/tex3]

e [tex3]OC=4[/tex3]

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[tex3]OC=4[/tex3]

temos um triangulo egipcio onde obtemos [tex3]FC=2\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]FC=2\sqrt{3}[/tex3]

.

A parte "tensa" é descobrir [tex3]FB[/tex3]

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[tex3]FB[/tex3]

que é a mediana do [tex3]\Delta OFC[/tex3]

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[tex3]\Delta OFC[/tex3]

pelo teorema da mediana temos:

[tex3]FB=\frac{\sqrt{2(2^2+12)-16}}{2}=2[/tex3]

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[tex3]FB=\frac{\sqrt{2(2^2+12)-16}}{2}=2[/tex3]

Pelo teorema de Marlen em ABCD:

[tex3]FD^2+FB^2=FA^2+FC^2[/tex3]

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[tex3]FD^2+FB^2=FA^2+FC^2[/tex3]

[tex3]DF^2-AF^2=12-4[/tex3]

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[tex3]DF^2-AF^2=12-4[/tex3]

[tex3]DF^2-AF^2=8[/tex3]

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[tex3]DF^2-AF^2=8[/tex3]

pimbada!!