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b)37°
c)38°
d)39°
e)127°/2
Resposta
b
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020
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Nov 2018
07
17:12
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico abaixo, T é ponto de tangência, AB=5 e AC=8.Calcule [tex3]\theta [/tex3]
.
a)30°
b)37°
c)38°
d)39°
e)127°/2
b
b)37°
c)38°
d)39°
e)127°/2
b
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Nov 2018
07
18:05
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
complete o círculo inteiro e seja [tex3]T'[/tex3]
o reflexo de [tex3]T[/tex3]
em relação ao diâmetro [tex3]AC[/tex3]
seja [tex3]A'[/tex3] o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]A[/tex3]
é óbvio que o arco [tex3]TT'[/tex3] é o dobro do arco [tex3]TA'[/tex3] , pois os arcos são meros reflexos em relação ao diâmetro [tex3]AC[/tex3] (o motivo rigoroso é que TC é perpendicular ao diâmetro e então T'CA' é congruente a TCA')
mas pelo ângulo de segmento que falta na reta tangente ali o arco [tex3]TT'[/tex3] mede [tex3]180-4\theta[/tex3] , isso implica que o arco [tex3]TA'[/tex3] mede [tex3]90-2\theta[/tex3] logo [tex3]\angle CAT = 90 -2\theta \iff \angle ATC = 2\theta[/tex3]
é fácil ver que [tex3]\angle ABC = 2\theta[/tex3] e [tex3]\angle BCA = \theta[/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta ABC[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\sen (2\theta)} = \frac{5}{\sen \theta} \iff \cos \theta = \frac 45[/tex3] letra B
seja [tex3]A'[/tex3] o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]A[/tex3]
é óbvio que o arco [tex3]TT'[/tex3] é o dobro do arco [tex3]TA'[/tex3] , pois os arcos são meros reflexos em relação ao diâmetro [tex3]AC[/tex3] (o motivo rigoroso é que TC é perpendicular ao diâmetro e então T'CA' é congruente a TCA')
mas pelo ângulo de segmento que falta na reta tangente ali o arco [tex3]TT'[/tex3] mede [tex3]180-4\theta[/tex3] , isso implica que o arco [tex3]TA'[/tex3] mede [tex3]90-2\theta[/tex3] logo [tex3]\angle CAT = 90 -2\theta \iff \angle ATC = 2\theta[/tex3]
é fácil ver que [tex3]\angle ABC = 2\theta[/tex3] e [tex3]\angle BCA = \theta[/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta ABC[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\sen (2\theta)} = \frac{5}{\sen \theta} \iff \cos \theta = \frac 45[/tex3] letra B
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