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Mensagem não lidapor **Shan** » Qua 07 Nov, 2018 13:37 · Mensagem não lida por **Shan** » Qua 07 Nov, 2018 13:37

Considere as afirmações :

I - Se subtrairmos 1 do quadrado de um número natural não divisível por 3 , obtemos um número divisível por 3.
II - Sendo M um número natural ímpar , a soma de todos os números naturais menores do que M é divisível por M.
III - A soma e a diferença de 2 números inteiros ímpares é sempre um número par e o seu produto é sempre um número ímpar .

Quantas das afirmações acima são VERDADEIRAS?

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Não possuo o gabarito

MathBRA

Afirmação 1
Se o número deixa resto [tex3]1[/tex3] na divisão por [tex3]3[/tex3] , ele é da forma [tex3]3k+1[/tex3] com [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3] , logo
[tex3](3k+1)^2-1=9k^2+6k=3(3k^2+2k)[/tex3]

Se o número deixa resto [tex3]2[/tex3] ele é da forma [tex3]3k+2[/tex3] , portanto
[tex3](3k+2)^2-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1)[/tex3]

Afirmação 2
Seja [tex3]M=2k+1[/tex3] , sabemos que a soma [tex3]S[/tex3] dos números menores que [tex3]M[/tex3] é
[tex3]S=1+2+...+2k[/tex3]

Pela soma dos termos de uma P.A
[tex3]S=1+2+...+2k=\dfrac{2k\cdot(2k+1)}{2}=k\cdot(2k+1)[/tex3]

Concluímos que [tex3]2k+1\mid k\cdot(2k+1)\Rightarrow M\mid S[/tex3]

Afirmação 3
Considere os números impares [tex3]2r+1[/tex3] e [tex3]2s+1[/tex3] de modo que [tex3]r,s\in \mathbb{Z}[/tex3] , a soma deles é
[tex3]2r+2s+2=2(r+s+1)[/tex3]
O produto deles é
[tex3](2r+1)(2s+1)=4rs+2r+2s+1=2(rs+r+s)+1[/tex3]
Portanto [tex3](2r+1)(2s+1)[/tex3] é ímpar.

Todas as afirmações são verdadeiras.

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