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Resposta
a
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Flavio2020 
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Nov 2018
05
09:41
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico, G é ponto de tangência, AB=4 e CD=3(DF). Calcule AC.
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Andre13000 
- Mensagens: 847
- Registrado em: Sáb 18 Mar, 2017 17:30
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Nov 2018
05
11:33
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Chame BG de x. Então, pelas semelhanças e por tales, temos que GC=3x. Traçando, a partir do centro O do círculo, o segmento OG, os triângulos GCO e BCA são semelhantes. Daí, se AC=y, temos:
1. Pitágoras: [tex3]16+16x^2=y^2[/tex3]
2. Potência de ponto em C: [tex3](3x)^2=(y-2R)y[/tex3]
3. A semelhança: [tex3]\frac{R}{x}=\frac{y}{4x}[/tex3]
Basta agora resolver as equações. Curiosamente, eu cheguei em outro resultado que não foi nem bonito, então vou deixar aqui pra ver se alguém percebe algum erro.
1. Pitágoras: [tex3]16+16x^2=y^2[/tex3]
2. Potência de ponto em C: [tex3](3x)^2=(y-2R)y[/tex3]
3. A semelhança: [tex3]\frac{R}{x}=\frac{y}{4x}[/tex3]
Basta agora resolver as equações. Curiosamente, eu cheguei em outro resultado que não foi nem bonito, então vou deixar aqui pra ver se alguém percebe algum erro.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
Nov 2018
05
15:40
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
É só fazer a semelhança: [tex3]\frac{R}{3x}=\frac{4}{4x} \rightarrow R=3[/tex3]
e depois jogar em y = 4R
Life begins at the end of your comfort zone.
Nov 2018
05
17:17
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
tem coisa errada no enunciado, [tex3]BC=12[/tex3]
e não [tex3]AC[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2018
05
17:28
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Seja [tex3]N,M,C[/tex3]
pontos consecutivos onde [tex3]N,M[/tex3]
são os pés dos pontos [tex3]B,G[/tex3]
respectivamente, [tex3]O[/tex3]
o centro da circunferencia e [tex3]H[/tex3]
o pé da perpendicular de [tex3]O[/tex3]
sobre [tex3]AB[/tex3]
. Vamos brincar!
O raio da circunferência será [tex3]r[/tex3] depois de todas as marcações teremos :
[tex3]AH=4-r[/tex3] , [tex3]OH=BG=r[/tex3] e [tex3]OH=r[/tex3]
Por semelhança temos:
[tex3]\frac{4-r}{r}=\frac{r}{CG}[/tex3] tal que [tex3]CG=\frac{r^2}{4-r}[/tex3] repare agora que [tex3]BC=r+\frac{r^2}{4-r}[/tex3] portanto:[tex3]BC=\frac{4r}{4-r}[/tex3] Se voce tiver malandro ja viu que o problema morreu!!!
Os [tex3]\Delta MCD[/tex3] ~[tex3]\Delta NCF[/tex3] cuja razão é 3/4 PARA 1 mas espera aí [tex3]\frac{MC}{NC}=\frac{3}{4}[/tex3] PORTANTO
: [tex3]\frac{GC}{BC}=\frac{3}{4}[/tex3]
substituindo
[tex3]\frac{\frac{r^2}{4-r}}{\frac{4r}{4-r}}=\frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]4r^2=12r[/tex3]
[tex3]r=0[/tex3] ou [tex3]r=3[/tex3] jogando na formula de [tex3]BC[/tex3] temos: [tex3]BC=\frac{4*3}{4-3}=12[/tex3] PIMBADA DE RESPEITO!!!
O raio da circunferência será [tex3]r[/tex3] depois de todas as marcações teremos :
[tex3]AH=4-r[/tex3] , [tex3]OH=BG=r[/tex3] e [tex3]OH=r[/tex3]
Por semelhança temos:
[tex3]\frac{4-r}{r}=\frac{r}{CG}[/tex3] tal que [tex3]CG=\frac{r^2}{4-r}[/tex3] repare agora que [tex3]BC=r+\frac{r^2}{4-r}[/tex3] portanto:[tex3]BC=\frac{4r}{4-r}[/tex3] Se voce tiver malandro ja viu que o problema morreu!!!
Os [tex3]\Delta MCD[/tex3] ~[tex3]\Delta NCF[/tex3] cuja razão é 3/4 PARA 1 mas espera aí [tex3]\frac{MC}{NC}=\frac{3}{4}[/tex3] PORTANTO
: [tex3]\frac{GC}{BC}=\frac{3}{4}[/tex3]
substituindo[tex3]\frac{\frac{r^2}{4-r}}{\frac{4r}{4-r}}=\frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]4r^2=12r[/tex3]
[tex3]r=0[/tex3] ou [tex3]r=3[/tex3] jogando na formula de [tex3]BC[/tex3] temos: [tex3]BC=\frac{4*3}{4-3}=12[/tex3] PIMBADA DE RESPEITO!!!
Última edição: jvmago (Seg 05 Nov, 2018 17:30). Total de 2 vezes.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2018
05
17:31
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Vale notar também que [tex3]AC=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Andre13000
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Nov 2018
06
12:11
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Tem toda a razão
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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