IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu escreveu:
Dom 21 Out, 2018 06:25
[tex3]DB^2 = DA \cdot DP \implies a^2 = DA \cdot DP[/tex3]
e
[tex3]CA^2 = CB \cdot CP \implies b^2 = CB \cdot CP[/tex3]

será que PAB e PCD são semelhantes?
Vou mostrar o que eu consegui:
Stewart em [tex3]\Delta PCD[/tex3] na base [tex3]PD[/tex3]
[tex3]PC^2*AD+x^2*PA-b^2*PD=PD*PA*AD[/tex3] (1) com um pouco de manipulação temos [tex3]PA(x^2-a^2-b^2)=AD(b^2-PC^2)[/tex3] (2)

Stewart em [tex3]\Delta PCD[/tex3] base [tex3]PC[/tex3]
[tex3]PD^2*BC+x^2*PB-a^2*PC=BC*CP*PB[/tex3] (3) com um pouco de manipulação temos [tex3]PB(x^2-a^2-b^2)=BC(a^2-PD^2)[/tex3] (4)

Stewart em [tex3]\Delta PBD[/tex3] na base [tex3]PD[/tex3]
[tex3]PB^2*AD+a^2*PA-AB^2*PD=PD*PA*AD[/tex3] (5) simplificando temos [tex3]AB^2*PD=PB^2*AD[/tex3] (6)

Stewart em [tex3]\Delta APC[/tex3] na base [tex3]PC[/tex3]
[tex3]PA^2*BC+b^2*PB-AB^2*PC=BC*CP*PB[/tex3] (7) simplificando temos [tex3]PA^2*BC=AB^2*PC[/tex3] (8) (agora começa a disgrassa :evil::evil: !!!)

Façamos [tex3]\frac{(2)}{(4)}[/tex3] e obtemos [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{AD(b^2-PC^2)}{BC(a^2-PD^2)}[/tex3] (9)

Vamos fazer agora [tex3]\frac{(6)}{(8)}[/tex3] e obtemos [tex3]\frac{PD}{PC}=\frac{PB^2*AD}{PA^2*BC}[/tex3] (10)

substitua (9) em (10)

[tex3]\frac{PD}{PC}=\frac{(a^2-PD^2)^2*BC^2*AD}{(b^2-PC^2)^2*AD^2*BC}[/tex3] (Aqui eu vi a primeira luz no fim do tunel)

[tex3]\frac{(a^2-PD^2)^2}{(b^2-PC^2)^2}=\frac{PD*AD}{PC*BC}[/tex3] (AEEEEEEEEE DISGRASSA!!)
[tex3]\frac{(a^2-PD^2)^2}{(b^2-PC^2)^2}=\frac{a^2}{b^2}[/tex3] vai precisar ser positvo ja que estamos falando de medidas portanto:
[tex3]\frac{a^2-PD^2}{b^2-PC^2}=\frac{a}{b}[/tex3] (A PRIMEIRA EXPRESSÃO DE LUZ)
[tex3]a^2b-b*PD^2=ab^2-a*PC^2[/tex3]
[tex3]a^2b-ab^2-b*PD^2+a*PC^2=0[/tex3]
[tex3]ab(a-b)=b*PD^2-a*PC^2[/tex3] ou [tex3]a-b=\frac{PD^2}{a}-\frac{PC^2}{b}[/tex3]

Última edição: jvmago (Dom 21 Out, 2018 20:13). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

sousóeu, Se por acaso assim o angulo [tex3]BdA=180+PcA[/tex3] o que aconteceria com a figura?



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Bda deve ser menor que 90 eu acho



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

[tex3]H = CA \cap BD[/tex3] e o ponto P o mesmo descrito pelo jvmago

[tex3]\angle APB = \angle ABH = \angle BAH[/tex3]

trace a bissetriz interna de [tex3]\Delta HBC[/tex3] por [tex3]H[/tex3] e seja [tex3]K[/tex3] o pé dessa bissetriz em [tex3]CB[/tex3]

[tex3]\angle KHC = \angle KHB =\angle APB[/tex3] logo [tex3]AB // KH[/tex3]

seja [tex3]x = HA = HB[/tex3]

[tex3]\Delta PBA \sim \Delta HKB[/tex3]
[tex3]\frac{AB}{BP} = \frac{BK}{HK}[/tex3]
do teorema da bissetriz interna
[tex3]\frac{BK}{HB} = \frac{KC}{CH} \iff \frac{BK}{x} = \frac{KC}{b-x} \implies BK = \frac x{b} BC[/tex3]
[tex3]\frac{AB}{BP} = \frac xb \frac{BC}{HK}[/tex3]
e [tex3]\Delta CBA \sim \Delta CKH[/tex3]
[tex3]\frac{AB}{HK} = \frac{CA}{CH} = \frac{b}{b-x} \iff HK = \frac{b-x}b AB[/tex3]
juntando na equação de cima
[tex3]\frac{AB}{BP} = \frac xb \frac{ b BC}{(b-x) AB}[/tex3]
de onde [tex3]AB^2 = BP \cdot BC\frac{x}{b-x}[/tex3]

quero muito calcular esse [tex3]x[/tex3] to pensando em fazer análogo pra parte de baixo: [tex3]AB^2 = AP \cdot AD \frac {x}{a-x} [/tex3]

[tex3]\frac{a^2 - AD^2}{a-x} = \frac{b^2 - BC^2}{b-x}[/tex3]

reparei que essa relação aqui também é verdade (prolongando HK até encontrar AD e fazendo HKB ~ HK'A):
[tex3]x^2 = AB^2\cdot \frac{b-x}b \cdot \frac{a-x}a[/tex3]
então se [tex3]AB = \sqrt{ab}[/tex3] o resultado fica bonito:[tex3]x = \frac{ab}{a+b} \implies BP \cdot BC = b^2 \implies BC = 0 = AD[/tex3]
caso [tex3]AB\neq \sqrt{ab}[/tex3] o resultado fica feio (mais provável) [tex3]x = \frac{AB(\pm\sqrt{4a^2b^2+AB^2(a-b)^2}+(a+b)AB)}{2(AB^2-ab)}[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 27 Out, 2018 14:38). Total de 7 vezes.



Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

[tex3]a-b=\frac{PD^2}{a}-\frac{PC^2}{b}[/tex3]
[tex3]a^2 = DA \cdot DP[/tex3]
[tex3]b^2 = CB \cdot CP[/tex3]
[tex3]a-b = \frac{a^3}{DA^2} - \frac{b^3}{CB^2}[/tex3]
e
[tex3](a^2 - AD^2)(b-x) = (a-x)(b^2 - CB^2) \iff a^2b -a^2x -bAD^2 +xAD^2 = ab^2-aCB^2 -b^2x +x CB^2[/tex3]
[tex3]x(CB^2-AD^2 + a^2-b^2) = a^2b-bAD^2 -ab^2 + aCB^2 = ab(a-b +\frac{CB^2}{b} - \frac{AD^2}a)[/tex3]
como eu quero esse [tex3]x[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 27 Out, 2018 18:33). Total de 1 vez.



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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Coé flávio... fala que a resposta é a letra A aí, com todo respeito :lol:
Última edição: jvmago (Seg 05 Nov, 2018 21:38). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

terminei
[tex3]PD = y[/tex3] , [tex3]PC = z[/tex3] e [tex3]CD=x[/tex3]

[tex3]AD \cdot y = b^2 \implies AP = \frac{y^2-a^2}y[/tex3] e [tex3]CB \cdot z = a^2 [/tex3]

Stewart em [tex3]\Delta PCD[/tex3] com respeito à [tex3]CA[/tex3] :
[tex3]x^2 AP +z^2AC = y(b^2 +AC\cdot AP)[/tex3]
[tex3]x^2\frac{y^2-a^2}y + z^2\frac{a^2}y = y(b^2 + \frac{a^2(y^2-a^2)}{y^2})[/tex3]
[tex3]x^2(y^2-a^2) +z^2a^2 = b^2y^2 + a^2(y^2-a^2) [/tex3]
[tex3]x^2(y^2-a^2) = b^2y^2 + a^2(y^2-a^2) -z^2a^2 [/tex3]

mas [tex3]a-b = \frac{y^2}a - \frac{z^2}b \iff z^2 = b^2 -ab + b\frac{y^2}a[/tex3]
substituindo
[tex3]x^2(y^2-a^2) = a^2(y^2-a^2) + b^2y^2 - a^2b^2 + a^3b - ab y^2 = a^2(y^2-a^2) + b^2(y^2-a^2) - ab(y^2-a^2)[/tex3]
de onde [tex3]x^2(y^2-a^2) = (a^2 + b^2 -ab)(y^2-a^2)[/tex3]

é fácil ver que [tex3]y \neq a[/tex3] então [tex3]x^2 = a^2 + b^2 -ab[/tex3]
letra E

o ponto chave era a expressão [tex3]a-b = \frac{y^2}a - \frac{z^2}b [/tex3] tem um jeito menos algébrico do que o jvmago mostrou, mas envolve umas três semelhanças a partir do ponto H, então dava trabalho mesmo.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 06 Nov, 2018 19:11). Total de 1 vez.



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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

de longe uma das mais tenss que ele postou


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geobson
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

Aplicação direta deste teorema.
Anexos
Screenshot_2021-06-17-13-24-33-1.png
Screenshot_2021-06-17-13-24-33-1.png (171.87 KiB) Exibido 863 vezes
Screenshot_2021-06-17-13-24-37-1.png
Screenshot_2021-06-17-13-24-37-1.png (179.18 KiB) Exibido 863 vezes



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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Hoje eu vejo como o nível mudou, nessa época eu ainda estava me aventurando no Rufino kkkkk, passa MT rápido



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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