Vou mostrar o que eu consegui:
Stewart em [tex3]\Delta PCD[/tex3] na base [tex3]PD[/tex3]
[tex3]PC^2*AD+x^2*PA-b^2*PD=PD*PA*AD[/tex3] (1) com um pouco de manipulação temos [tex3]PA(x^2-a^2-b^2)=AD(b^2-PC^2)[/tex3] (2)
Stewart em [tex3]\Delta PCD[/tex3] base [tex3]PC[/tex3]
[tex3]PD^2*BC+x^2*PB-a^2*PC=BC*CP*PB[/tex3] (3) com um pouco de manipulação temos [tex3]PB(x^2-a^2-b^2)=BC(a^2-PD^2)[/tex3] (4)
Stewart em [tex3]\Delta PBD[/tex3] na base [tex3]PD[/tex3]
[tex3]PB^2*AD+a^2*PA-AB^2*PD=PD*PA*AD[/tex3] (5) simplificando temos [tex3]AB^2*PD=PB^2*AD[/tex3] (6)
Stewart em [tex3]\Delta APC[/tex3] na base [tex3]PC[/tex3]
[tex3]PA^2*BC+b^2*PB-AB^2*PC=BC*CP*PB[/tex3] (7) simplificando temos [tex3]PA^2*BC=AB^2*PC[/tex3] (8) (agora começa a disgrassa !!!)
Façamos [tex3]\frac{(2)}{(4)}[/tex3] e obtemos [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{AD(b^2-PC^2)}{BC(a^2-PD^2)}[/tex3] (9)
Vamos fazer agora [tex3]\frac{(6)}{(8)}[/tex3] e obtemos [tex3]\frac{PD}{PC}=\frac{PB^2*AD}{PA^2*BC}[/tex3] (10)
substitua (9) em (10)
[tex3]\frac{PD}{PC}=\frac{(a^2-PD^2)^2*BC^2*AD}{(b^2-PC^2)^2*AD^2*BC}[/tex3] (Aqui eu vi a primeira luz no fim do tunel)
[tex3]\frac{(a^2-PD^2)^2}{(b^2-PC^2)^2}=\frac{PD*AD}{PC*BC}[/tex3] (AEEEEEEEEE DISGRASSA!!)
[tex3]\frac{(a^2-PD^2)^2}{(b^2-PC^2)^2}=\frac{a^2}{b^2}[/tex3] vai precisar ser positvo ja que estamos falando de medidas portanto:
[tex3]\frac{a^2-PD^2}{b^2-PC^2}=\frac{a}{b}[/tex3] (A PRIMEIRA EXPRESSÃO DE LUZ)
[tex3]a^2b-b*PD^2=ab^2-a*PC^2[/tex3]
[tex3]a^2b-ab^2-b*PD^2+a*PC^2=0[/tex3]
[tex3]ab(a-b)=b*PD^2-a*PC^2[/tex3] ou [tex3]a-b=\frac{PD^2}{a}-\frac{PC^2}{b}[/tex3]