IME / ITA(Escola Naval - 2018) Equação Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
ALDRIN
3 - Destaque
Mensagens: 4851
Registrado em: Qua 09 Abr, 2008 16:20
Última visita: 20-03-24
Localização: Brasília-DF
Contato:
Set 2018 21 13:17

(Escola Naval - 2018) Equação

Mensagem não lida por ALDRIN »

Quantas raízes reais possui a equação [tex3]2cos(x - 1) = 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1[/tex3] ?

(A) [tex3]0[/tex3] .
(B) [tex3]1[/tex3] .
(C) [tex3]2[/tex3] .
(D) [tex3]3[/tex3] .
(E) Infinitas.
Resposta

Gab.: D

Última edição: ALDRIN (Sex 21 Set, 2018 13:18). Total de 1 vez.


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

mcarvalho
3 - Destaque
Mensagens: 553
Registrado em: Sex 12 Abr, 2019 15:13
Última visita: 21-10-23
Abr 2020 27 12:58

Re: (Escola Naval - 2018) Equação

Mensagem não lida por mcarvalho »

Boa tarde.

É razoável supor que [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\le |2|[/tex3]

No primeiro caso: [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\le 2\\2x^4-8x^3+9x^2-2x-1\le 0[/tex3]

Por inspeção, 1 é raiz. Reduzindo o polinômio obtemos raízes [tex3]\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}[/tex3] .

No segundo caso: [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\ge -2\\2x^4-8x^3+9x^2-2x+3\le 0[/tex3]

Usando o computador, não encontro nenhuma raiz real.

Claro que por eliminação você já chega na letra D), afinal, não existiram infinitas raízes reais, nesse caso, eu acho.

Se alguém tiver uma solução mais romântica (especialmente para o segundo passo), eu apreciaria.



"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"

Alan Guth

Avatar do usuário
petras
7 - Einstein
Mensagens: 9827
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 28-03-24
Abr 2020 27 17:03

Re: (Escola Naval - 2018) Equação

Mensagem não lida por petras »

mcarvalho,

Encontrei esta solução
[tex3]\mathsf{2cos(x-1) = 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 - 2x + 1\\
g(x)=2cos(x-1)  \\
g(x)máx =2\\
g(x)mín=-2\\
f(x)= 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 - 2x + 1\\
f'(x)=8x^3-24x^2+18x-2=0\\
\text{por observação x =1 é uma raiz, diminuindo um grau f'(x) , utilizando Ruffini}:\\
 8x^2-16x+2=0 \implies x''=1-\frac{\sqrt{3}}{2}, x'''=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\\

f''(x)=24x^2-48x+18\\

f''(1)=24x^2-48x+18 < 0  \rightarrow ponto ~de~ máximo\\

f''(1-\frac{\sqrt{3}}{2})=24*(1-\frac{\sqrt{3}}{2})^2-48*(1-\frac{\sqrt{3}}{2})+18 > 0 \rightarrow ponto ~de~ mínimo\\

f''(1+\frac{\sqrt{3}}{2})=24*(1+\frac{\sqrt{3}}{2})^2-48*(1+\frac{\sqrt{3}}{2})+18 > 0 \rightarrow ponto~ de~ mínimo\\

\text{Pontos críticos de f(x)} \rightarrow (1,2) ; [(1-√3/2) , 7/8] ; [(1+√3/2) , 7/8]  \\

lim f'(x) \rightarrow -∞ < 0 \rightarrow decrescente (-∞ , (1-√3/2)\\

lim f'(x) \rightarrow +∞ > 0 \rightarrow >crescente ((1+√3/2) , ∞)\\

g(1-√3/2)>f(1-√3/2)  , g(1+√3/2) > f(1+√3/2) ~e~ g(1)=f(1)\\

\text{As curvas g(x) e f(x) se encontram em três pontos , portanto,

são 3 raízes Reais}}[/tex3]
Fonte( Brainly.com.br - https://brainly.com.br/tarefa/24863399)
Anexos
gr22.jpg
gr22.jpg (42.61 KiB) Exibido 1721 vezes



mcarvalho
3 - Destaque
Mensagens: 553
Registrado em: Sex 12 Abr, 2019 15:13
Última visita: 21-10-23
Abr 2020 27 17:20

Re: (Escola Naval - 2018) Equação

Mensagem não lida por mcarvalho »

petras, bacana, obrigado! Bem mais completo.

Depois eu percebi que cometi um erro na resolução, afinal fiz uma análise das raízes e não dos intervalos - acho que, por coincidência, deu certo.

De qualquer forma eu não estava esperando que a resolução usasse cálculo, se bem que é costume da Escola Naval cobrar, enfim.



"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"

Alan Guth

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem [Escola Naval] - Polinômios
    por diniz » » em Concursos Públicos
    1 Respostas
    1096 Exibições
    Última msg por JohnnyEN
  • Nova mensagem (Escola naval - 2019) which option is correct?
    por JohnnyEN » » em Gramática
    1 Respostas
    1418 Exibições
    Última msg por Deleted User 25171
  • Nova mensagem Escola naval - 2016 - prepositions
    por JohnnyEN » » em Gramática
    1 Respostas
    1405 Exibições
    Última msg por Fibonacci13
  • Nova mensagem (Escola naval - 2012) Funções
    por JohnnyEN » » em IME / ITA
    5 Respostas
    2607 Exibições
    Última msg por deOliveira
  • Nova mensagem (EScola naval - 2014) Limite
    por JohnnyEN » » em IME / ITA
    0 Respostas
    955 Exibições
    Última msg por JohnnyEN

Voltar para “IME / ITA”