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Sendo C o ponto médio DU e O o ponto médio de AL
como ADL é um triangulo retângulo então
[tex3]AO=LO=DO=\frac{AL}{2}[/tex3]
pelo teorema dos cossenos
[tex3]CO^2=DO^2+DC^2-2.DO.DC\cos(\theta-\phi)[/tex3]
[tex3]CO^2=DO^2+DC^2-2.DO.DC\cos(\theta)\cos(\phi)-2.DO.DC.\sen(\theta)\sen(\phi)[/tex3]
[tex3]CO^2=\left(\frac{DU}{2}\right)^2+\left(\frac{AL}{2}\right)^2-2.\frac{DU}{2}.\frac{AL}{2}\cos(\theta)\cos(\phi)-2.\frac{DU}{2}.\frac{AL}{2}.\sen(\theta)\sen(\phi)[/tex3]
[tex3]CO^2=\frac{DU^2}{4}+\frac{AL^2}{4}-\frac{DU.AL\cos(\theta)\cos(\phi)}{2}-\frac{DU.AL.\sen(\theta)\sen(\phi)}{2}[/tex3]
mas:
[tex3]AL.\cos(\phi)=AD[/tex3]
[tex3]AL.\sen(\phi)=DL[/tex3]
[tex3]DU.\cos(\theta)=\frac{AD}{2}[/tex3]
substituindo
[tex3]CO^2=\frac{DU^2}{4}+\frac{AL^2}{4}-\frac{AD.AD}{4}-\frac{DL.DU\sen(\theta)}{2}[/tex3]
[tex3]CO^2=\frac{DU^2}{4}+\frac{AL^2-AD^2}{4}-\frac{DL.DU\sen(\theta)}{2}[/tex3]
[tex3]CO^2=\frac{DU^2}{4}+\frac{DL^2}{4}-\frac{DL.DU.\sen(\theta)}{2}[/tex3]
mas:
[tex3]\theta+\alpha=90º[/tex3]
[tex3]\sen(\theta)=\cos(\alpha)[/tex3]
substituindo
[tex3]CO^2=\frac{DU^2}{4}+\frac{DL^2}{4}-\frac{DL.DU.\cos(\alpha)}{2}[/tex3]
[tex3]CO^2=\frac{1}{4}\left(DU^2+DL^2-2.DL.DU.\cos(\alpha)\right)[/tex3]
mas pelo teorema dos cossenos novamente
[tex3]CO^2=\frac{1}{4}.LU^2[/tex3]
[tex3]CO^2=\frac{K^2}{4}[/tex3]
[tex3]CO=\frac{K}{2}[/tex3]