IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

Dado o gráfico,calcule MN se AC=8cm, e [tex3]\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QB} = \frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QB} = \frac{1}{3}[/tex3]

(P, M, N e Q:pontos de tangência).

00.GIF (3.25 KiB) Exibido 940 vezes

a)2
b)[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

c)3
d)4
e)6

Resposta

---

e

[Auto Excluído (ID:12031)]

ok:

M está na bissetriz de PB e PA:

da homotetia do círculo menor por P e M com o círculo maior temos que PM está alinhado com D sendo D o ponto médio do arco AB que não passa por P.

Pois a reta AB é transformada na reta tangente à imagem de M. Como a imagem de uma reta é uma reta paralela à original então o ponto D é o ponto no círculo maior tal que a tangente por ele é paralela à AB. Isso só pode ocorrer se D for um dos pontos médios dos arcos AB (basta traçar a mediatriz de AB para confirmar esse fato).

Como a bissetriz de PA e PB é uma reta que passa por P e por D. (Suponha que ela não passe por D e você terá que ela não é bissetriz por conta dos arcos enxergados) então PM é bissetriz de PA e PB e então podemos aplicar o teorema da bissetriz interna:

[tex3]\frac{AM}{MB} = \frac{CN}{NB} = \frac 13[/tex3]

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[tex3]\frac{AM}{MB} = \frac{CN}{NB} = \frac 13[/tex3]

então [tex3]\frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{4}[/tex3]

então os triângulos BNM e BCA são semelhantes. Pois tem lados proporcionais e o ângulo B em comum. Logo MN//AC e MN = AC/4 = 2