IME / ITA(Colégio Naval - 2008) Conjuntos Numéricos: MDC e MMC Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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augustoxd
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(Colégio Naval - 2008) Conjuntos Numéricos: MDC e MMC

Mensagem não lida por augustoxd »

O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais [tex3]a, x \text{ e } b[/tex3] são respectivamente iguais a [tex3]1680 \text{ e } 120.[/tex3] Sendo [tex3]a < x < b,[/tex3] quantos são os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem essas condições?

a) Nenhum.
b) Apenas um.
c) Apenas dois.
d) Apenas três.
e) Apenas quatro.
Resposta:

c

Última edição: MateusQqMD (Ter 14 Jul, 2020 08:57). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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fabit
4 - Sabe Tudo
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Set 2008 12 10:56

Re: (CN - 2008) Conjuntos Numéricos: MDC e MMC

Mensagem não lida por fabit »

  • [tex3]120=2^3\cdot 3\cdot 5.[/tex3]

    [tex3]1680= 2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7[/tex3]
Logo, [tex3]a,x \text{ e } b[/tex3] são tais que
  • [tex3]a=2^{3+\alpha_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\alpha_2},[/tex3]
    [tex3]x=2^{3+\beta_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\beta_2}\text{ e }[/tex3]
    [tex3]b=2^{3+\gamma_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\gamma_2},[/tex3]
com [tex3]\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1 \text{ e } \gamma_2\in\{0,1\}.[/tex3]

Sabendo que [tex3]a<x<b,[/tex3] as únicas possíbilidades são
  • [tex3]\left|\begin{array}{l}
    \alpha_1=0 \\
    \alpha_2=0 \\
    \beta_1=1 \\
    \beta_2=0\\
    \gamma_1=0 \\
    \gamma_2=1\\
    \end{array}\right.[/tex3] [tex3]\text{ e }[/tex3] [tex3]\left|\begin{array}{l}
    \alpha_1=0 \\
    \alpha_2=0 \\
    \beta_1=1 \\
    \beta_2=0\\
    \gamma_1=1 \\
    \gamma_2=1\\
    \end{array}\right.[/tex3]
Letra (c).

Última edição: MateusQqMD (Ter 14 Jul, 2020 08:57). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!

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