IME / ITA

Se [tex3]AB=4[/tex3] , [tex3]BC=3[/tex3] e [tex3]BD=5[/tex3] , calcule [tex3]BE[/tex3] .

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a) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{7}{8}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{8}[/tex3]

Resposta

a

Construa a circunferência por completo. Seja F o ponto que o prolongamento de [tex3]\overline{AC}[/tex3] toca a circunferência, analogamente H o ponto do prolongamento de [tex3]\overline{AE}[/tex3] , G o ponto do prolongamento de [tex3]\overline{DE}[/tex3] e O o centro da circunferência. Faça [tex3]k=\overline{BE}[/tex3] , [tex3]c=\overline{AE}[/tex3] e [tex3]b=\overline{EG}[/tex3] .
Por potência de ponto:
[tex3]4.(3+a)=5.(k+b)[/tex3] , mas observe que o [tex3]\triangle ACO \sim\triangle AFH\rightarrow \frac{7}{R}=\frac{7+a}{2R}\rightarrow a=7[/tex3] , sendo R obviamente o Raio da circunferência circunscrita ao [tex3]\triangle AFH[/tex3] , logo [tex3]k+b=8(I)[/tex3] .
Aplicando pitágoras no [tex3]\triangle AEB\rightarrow 16-k^{2}=c^{2}(II)[/tex3] .
Por potência de ponto vem que:
[tex3]c.(2R-c)=(5+k).b(I)=(5+k).(8-k)(III)[/tex3] e repare que o [tex3]\triangle ABE\sim\triangle AFH \rightarrow \frac{c}{14}=\frac{4}{2R}\rightarrow 2R=\frac{56}{c}(III)\rightarrow c.(\frac{56}{c}-c)=56-c^{2}(II)=56-(16-k^{2})=(5+k).(8-k)\rightarrow k=\frac{3}{2}[/tex3]
Obs: Todas as semelhanças são pelo caso AAA.

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