IME / ITA ⇒ EFOMM - Limites Tópico resolvido

[Killin]

[tex3]\lim_{x\rightarrow +\infty}arctg\left(\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\rightarrow +\infty}arctg\left(\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x} \right)[/tex3]

Resposta

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[tex3]\pi/6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi/6[/tex3]

[Andre13000]

Basta notar que [tex3]\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x}=\frac{1+9\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{3}}\to \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x}=\frac{1+9\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{3}}\to \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[Killin]

Certo, mas se tu fosse fazer aplicando L'Hôpital, dá pra chegar em algum lugar? Minha dúvida é que com esse expoente fracionário conforme você vai derivando não chega em lugar algum. Vi uma resolução onde o professor simplesmente pega o x com o expoente de maior grau e ignora o resto, mas não queria ter que decorar isso.

[Andre13000]

Dá sim pra fazer por L'Hôpital, basta aplicá-lo uma vez.

[Killin]

Pode me mostrar como ficaria? N precisa fazer tudo bonitinho não, pode pular umas etapas

[Killin]

Eu fiz assim:

[tex3]\lim_{x\rightarrow +\infty}arctg\left(\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x} \right)=arctg\left( \lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{1+1/2 \cdot 9 \cdot x^{-1/2}}{1/2 \cdot x^{-1/2}+\sqrt{3}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\rightarrow +\infty}arctg\left(\frac{x+9\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}x} \right)=arctg\left( \lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{1+1/2 \cdot 9 \cdot x^{-1/2}}{1/2 \cdot x^{-1/2}+\sqrt{3}}\right)[/tex3]

Se eu substituir x por mais infinito continua dando [tex3]\frac{\infty}{\infty}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\infty}{\infty}[/tex3]

e não vejo isso sumindo se eu derivar novamente.

[Andre13000]

Tá certo mano, quando você coloca [tex3]x\to\infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\to\infty[/tex3]

você observa que há certo fatores que tendem à zero, e não ao infinito como você colocou acima.

[Killin]

Verdade. Foi falta de atenção minha mesmo. Acabei me precipitando... Vlw mano