IME / ITA(CN 2014-2015) Algarismos de um Número Natural

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(CN 2014-2015) Algarismos de um Número Natural

Mensagem não lida por Brasileiro312 »

14) Considere que N seja um número natural formado apenas por 200 algarismos iguais a 2, 200 algarismos iguais a 1 e 2015 algarismos iguais a zero. Sobre N, pode-se afirmar que:

(A) se forem acrescentados mais 135 algarismos iguais a 1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser um quadrado perfeito.

(B) independentemente das posições dos algarismos, N não é um quadrado perfeito.

(C) se forem acrescentados mais 240 algarismos iguais a 1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser um quadrado perfeito.

(D) se os algarismos da dezena e da unidade não forem iguais a 1, N será um quadrado perfeito.

(E) se forem acrescentados mais 150 algarismos iguais a 1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser um quadrado perfeito.

Resposta

gabrito: b

Última edição: caju (Ter 17 Jul, 2018 12:23). Total de 2 vezes.
Razão: arrumar título.


"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."

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Re: (CN 2014-2015) Algarismos de um Número Natural

Mensagem não lida por Brasileiro312 »

Alguém saberia fazer?



"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."

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caju
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Re: (CN 2014-2015) Algarismos de um Número Natural

Mensagem não lida por caju »

Olá Brasileiro312,

Vamos escrever o número [tex3]N[/tex3] :

[tex3]N=\underbrace{222\ldots 2}_{200\text{ algs}}\overbrace{111\ldots 1}^{200\text{ algs}}\underbrace{000\ldots 0}_{2015\text{ algs}}[/tex3]

Podemos olhar pra esse número e saber se ele é múltiplo de 3 utilizando a regra de divisibilidade por 3:
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos resultar um múltiplo de 3.
Vamos, então, somar seus algarismos:

[tex3]\underbrace{2+2+2+\ldots +2}_{200\text{ parcelas}}+\overbrace{1+1+1+\ldots +1}^{200\text{ parcelas}}+\underbrace{0+0+0+\ldots +0}_{2015\text{ parcelas}}[/tex3]

[tex3]200\cdot 2+200\cdot 1+2015\cdot 0\,\,=\,\,\boxed{600}[/tex3]

Ou seja, [tex3]N[/tex3] é múltiplo de 3, com certeza. Pois 600 é múltiplo de 3.

Um número que é múltiplo de 3 será um quadrado perfeito somente se for, também, múltiplo de 9. Portanto, para que [tex3]N[/tex3] seja um quadrado perfeito, devemos descobrir se ele é múltiplo de 9. Se não for, é impossível ser um quadrado perfeito.

A regra de divisibilidade por 9 é igual à da divisibilidade por 3:
Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos resultar um múltiplo de 9.
A soma dos algarismos de [tex3]N[/tex3] é 600.

E 600 não é múltiplo de 9.

Portanto, é impossível que [tex3]N[/tex3] seja um quadrado perfeito. Resposta letra B.

Grande abraço,
Prof. Caju



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