IME / ITA ⇒ (ITA) Trigonometria e Geometria Espacial Tópico resolvido
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Jun 2018
29
17:02
(ITA) Trigonometria e Geometria Espacial
(ITA) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede [tex3]\sqrt[3]{2}[/tex3]
cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é [tex3]\pi cm^{3}[/tex3]
. Determine os ângulos deste triângulo.
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joaopcarv 
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Jun 2018
30
01:27
Re: (ITA) Trigonometria e Geometria Espacial
Usaremos os seguintes anexos [tex3]\Rightarrow [/tex3]
Veja que eu denominei uns pontos para que ficasse melhor a explicação, ainda tentei usar um efeito 3D no Illustrator 
Seja [tex3]\mathsf{\triangle XYZ}[/tex3] retângulo em [tex3]\mathsf{Y}.[/tex3] Ao marcarmos a projeção ortogonal [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] desse vértice na hipotenusa [tex3]\mathsf{\overline{XZ}}[/tex3] , obtemos a altura [tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] relativa à hipotenusa. Pela reação da altura:
[tex3]\mathsf{\underbrace{\overline{XY}}_{\sqrt[3]{2} \ |u|} \ \cdot \ \overline{YZ} \ = \ \overline{XZ} \ \cdot \ \overline{YY'} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\overline{YY'} \ = \ \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \ \overline{YZ}}{\overline{XZ}}}}[/tex3]
Então, veja que rotacionar pela hipotenusa é justamente colocar um eixo nela e girar conforme um ângulo, sendo que para formar um sólido convexo devemos girar [tex3]\mathsf{360^\circ.}[/tex3]
Fazendo uma rotação completa, formamos o sólido azul do segundo anexo.
veja que ao girarmos, a perpendicular à hipotenusa ([tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] ) delimita um plano, e ficarão alinhados a projeção ortogonal [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] e os vértices [tex3]\mathsf{X}[/tex3] e [tex3]\mathsf{Z}[/tex3] num segmento perpendicular que corta esse plano em [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] , que é a própria hipotenusa [tex3]\mathsf{XZ}[/tex3] .
A projeções dos catetos [tex3]\mathsf{\overline{XY'}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{Y'Z}}[/tex3] servirão de alturas [tex3]\mathsf{h_1}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{h_2}[/tex3] aos dois cones formados, cujo raio [tex3]\mathsf{R}[/tex3] é a perpendicular [tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] , enquanto que os catetos de geratrizes.
Ou seja, o sólido formado é a soma dos cones de centro da base [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] e de alturas [tex3]\mathsf{h_1}[/tex3] e [tex3]\mathsf{h_2} \ \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ h_1}{3} \ + \ \dfrac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ h_2}{3} \ = \ \cancel{\pi} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\underbrace{R^2}_{\overline{YY'}} \ \cdot \ \overbrace{(h_1 \ + \ h_2)}^{hip \ (\overline{XZ})} \ = \ 3 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bigg( \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \ \overline{YZ}}{\overline{XZ}}\bigg)^2 \ = \ \dfrac{3}{\overline{XZ}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\sqrt[3]{4} \ \cdot \ \overline{YZ}^2}{\overline{XZ}^{\cancel{2}}} \ = \ \dfrac{3}{\cancel{\overline{XZ}}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{4} \ \cdot \ \overline{YZ}^2 \ = \ 3 \ \cdot \ \overline{XZ} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{16} \ \cdot \ \underbrace{\overline{YZ}^4}_{Jn^4} \ = \ 9 \ \cdot \ \overbrace{(\sqrt[3]{4} \ + \ \underbrace{\overline{YZ}^2}_{Jn^2})}^{\overline{XZ}^2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{16} \ \cdot \ Jn^4 \ - \ 9 \ \cdot \ Jn^2 \ - \ 9 \ \cdot \ \sqrt[3]{4} \ = \ 0}[/tex3]
Dessa equação só conseguimos tirar válido [tex3]\mathsf{Jn^2 \ = \ 3 \ \cdot \sqrt[3]{4} \ |u^2| \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\overline{YZ}^2 \ = \ 3 \ \cdot \sqrt[3]{4} \ |u^2|}}[/tex3]
Portanto, [tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ \dfrac{\overline{YZ}^2}{\overline{XY}^2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ \dfrac{3 \ \cdot \cancel{\sqrt[3]{4}}}{\cancel{\sqrt[3]{4}}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ 3 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg(Y\widehat{X}Z) \ = \ \ + \sqrt{3} \ \ \Rightarrow \ \boxed{\mathsf{Y\widehat{X}Z \ =\ 60^\circ}} \ (0 \ < \ Y\widehat{X}Z \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
E, por isso, [tex3]\boxed{\mathsf{Y\widehat{Z}X \ = \ 30^\circ}} \ \mathsf{(0\ < \ Y\widehat{Z}X \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
- rotacaoITA.jpg (20.05 KiB) Exibido 2134 vezes
- CONEITA.jpg (32.4 KiB) Exibido 2134 vezes
Seja [tex3]\mathsf{\triangle XYZ}[/tex3] retângulo em [tex3]\mathsf{Y}.[/tex3] Ao marcarmos a projeção ortogonal [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] desse vértice na hipotenusa [tex3]\mathsf{\overline{XZ}}[/tex3] , obtemos a altura [tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] relativa à hipotenusa. Pela reação da altura:
[tex3]\mathsf{\underbrace{\overline{XY}}_{\sqrt[3]{2} \ |u|} \ \cdot \ \overline{YZ} \ = \ \overline{XZ} \ \cdot \ \overline{YY'} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\overline{YY'} \ = \ \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \ \overline{YZ}}{\overline{XZ}}}}[/tex3]
Então, veja que rotacionar pela hipotenusa é justamente colocar um eixo nela e girar conforme um ângulo, sendo que para formar um sólido convexo devemos girar [tex3]\mathsf{360^\circ.}[/tex3]
Fazendo uma rotação completa, formamos o sólido azul do segundo anexo.
veja que ao girarmos, a perpendicular à hipotenusa ([tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] ) delimita um plano, e ficarão alinhados a projeção ortogonal [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] e os vértices [tex3]\mathsf{X}[/tex3] e [tex3]\mathsf{Z}[/tex3] num segmento perpendicular que corta esse plano em [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] , que é a própria hipotenusa [tex3]\mathsf{XZ}[/tex3] .
A projeções dos catetos [tex3]\mathsf{\overline{XY'}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{Y'Z}}[/tex3] servirão de alturas [tex3]\mathsf{h_1}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{h_2}[/tex3] aos dois cones formados, cujo raio [tex3]\mathsf{R}[/tex3] é a perpendicular [tex3]\mathsf{YY'}[/tex3] , enquanto que os catetos de geratrizes.
Ou seja, o sólido formado é a soma dos cones de centro da base [tex3]\mathsf{Y'}[/tex3] e de alturas [tex3]\mathsf{h_1}[/tex3] e [tex3]\mathsf{h_2} \ \Rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ h_1}{3} \ + \ \dfrac{\cancel{\pi} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ h_2}{3} \ = \ \cancel{\pi} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\underbrace{R^2}_{\overline{YY'}} \ \cdot \ \overbrace{(h_1 \ + \ h_2)}^{hip \ (\overline{XZ})} \ = \ 3 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bigg( \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \ \overline{YZ}}{\overline{XZ}}\bigg)^2 \ = \ \dfrac{3}{\overline{XZ}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\dfrac{\sqrt[3]{4} \ \cdot \ \overline{YZ}^2}{\overline{XZ}^{\cancel{2}}} \ = \ \dfrac{3}{\cancel{\overline{XZ}}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{4} \ \cdot \ \overline{YZ}^2 \ = \ 3 \ \cdot \ \overline{XZ} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{16} \ \cdot \ \underbrace{\overline{YZ}^4}_{Jn^4} \ = \ 9 \ \cdot \ \overbrace{(\sqrt[3]{4} \ + \ \underbrace{\overline{YZ}^2}_{Jn^2})}^{\overline{XZ}^2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\sqrt[3]{16} \ \cdot \ Jn^4 \ - \ 9 \ \cdot \ Jn^2 \ - \ 9 \ \cdot \ \sqrt[3]{4} \ = \ 0}[/tex3]
Dessa equação só conseguimos tirar válido [tex3]\mathsf{Jn^2 \ = \ 3 \ \cdot \sqrt[3]{4} \ |u^2| \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\overline{YZ}^2 \ = \ 3 \ \cdot \sqrt[3]{4} \ |u^2|}}[/tex3]
Portanto, [tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ \dfrac{\overline{YZ}^2}{\overline{XY}^2} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ \dfrac{3 \ \cdot \cancel{\sqrt[3]{4}}}{\cancel{\sqrt[3]{4}}} \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg^2(Y\widehat{X}Z) \ = \ 3 \ \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{tg(Y\widehat{X}Z) \ = \ \ + \sqrt{3} \ \ \Rightarrow \ \boxed{\mathsf{Y\widehat{X}Z \ =\ 60^\circ}} \ (0 \ < \ Y\widehat{X}Z \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
E, por isso, [tex3]\boxed{\mathsf{Y\widehat{Z}X \ = \ 30^\circ}} \ \mathsf{(0\ < \ Y\widehat{Z}X \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Qua 06 Fev, 2019 02:24). Total de 2 vezes.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
Jun 2018
30
12:16
Re: (ITA) Trigonometria e Geometria Espacial
muito bom eu nao olharei a resoluçao agora pois so queria que alguem respondesse vou deixar guardada aqui e estudar geometria espacial ai eu volto e ficara mas simples visualizar a questão de qualquer maneira obrigado 
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