IME / ITA(ESSA-86) Racionalização

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Mai 2018 25 22:19

(ESSA-86) Racionalização

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) »

Racionalizando-se a expressão [tex3]\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^{n-2}}}[/tex3] , obtemos:

a) [tex3]\sqrt[n]{a^{m+n-2}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt[n]{a^{m+2}}}{a}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt[n]{a^{m-n+2}}[/tex3]
d) [tex3]m+n-2[/tex3]
e) [tex3]m-n-2[/tex3]
Resposta

c
Por que não pode ser b)?

Última edição: Auto Excluído (ID:20808) (Sex 25 Mai, 2018 22:20). Total de 1 vez.



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snooplammer
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Re: (ESSA-86) Racionalização

Mensagem não lida por snooplammer »

Lembre-se que [tex3]\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^{n-2}}}=\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{n-2}{n}}}[/tex3]

Lembre-se que [tex3]\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}[/tex3]

[tex3]\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{n-2}{n}}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{n-2}{n}}=a^{\frac{m-n+2}{n}}=\sqrt[n]{a^{m-n+2}}[/tex3]

Última edição: snooplammer (Sáb 26 Mai, 2018 15:14). Total de 1 vez.



Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:20808)
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Mai 2018 26 15:08

Re: (ESSA-86) Racionalização

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) »

1.PNG
1.PNG (22.3 KiB) Exibido 495 vezes
Mas veja, a letra b) tem o mesmo valor que a c), e está racionalizada considerando [tex3]a\in \mathbb{Q}[/tex3] , não acha ambígua a questão?



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snooplammer
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Re: (ESSA-86) Racionalização

Mensagem não lida por snooplammer »

Ah, acredito que as duas alternativas estão corretas tb



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caju
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Re: (ESSA-86) Racionalização

Mensagem não lida por caju »

Olá humano e snooplammer,

Na hora da prova, se vocês não vissem qual a pegadinha que diferencia a (B) da (C), vocês poderiam substituir valores na expressão original e ver qual das duas bate com a equação original do enunciado.

Como o enunciado não falou para quais valores de [tex3]a[/tex3] , [tex3]m[/tex3] ou [tex3]n[/tex3] a expressão existe, devemos considerar que ela vale para o maior conjunto possível. Ou seja, é válida para [tex3]a\ne 0[/tex3] . Veja um exemplo:

Fazendo:
[tex3]a=-1[/tex3]
[tex3]n=2[/tex3]
[tex3]m=2[/tex3]

Equação do enunciado: [tex3]\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^{n-2}}}\,\,\,\to\,\,\,\frac{\sqrt{(-1)^2}}{\sqrt{(-1)^{2-2}}}\,\,\,\to\,\,\,\frac{|-1|}{\sqrt{(-1)^{0}}}\,\,\,\to\,\,\,\frac{1}{1}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{1}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{\sqrt[n]{a^{m+2}}}{a}\,\,\,\to\,\,\,\frac{\sqrt{(-1)^{2+2}}}{-1}\,\,\,\to\,\,\,\frac{|-1|}{-1}\,\,\,\to\,\,\,\frac{1}{-1}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{-1}[/tex3]

(C) [tex3]\sqrt[n]{a^{m-n+2}}\,\,\,\to\,\,\,\sqrt{(-1)^{2-2+2}}\,\,\,\to\,\,\,\sqrt{(-1)^2}\,\,\,\to\,\,\,|-1|\,\,\,\to\,\,\,\boxed{1}[/tex3]

Já deu pra ver que a (B) não pode ser! E, também, já deu pra ver que o problema é com números negativos e expoentes pares!

Vejam aqui uma resolução:

Essa questão tem uma pegadinha que, ao resolver do jeito que vocês resolveram, a pegadinha não aparece.

Mas, se você resolver do jeito que o enunciado pediu, racionalizando a fração, a pegadinha aparece mais facilmente. Olhem só:

Pra racionalizar [tex3]\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^{n-2}}}[/tex3] temos que multiplicar o numerador e o denominador por [tex3]\sqrt[n]{a^2}[/tex3] :

[tex3]\frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{a^{n-2}}}\cdot\frac{\sqrt[n]{a^2}}{\sqrt[n]{a^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt[n]{a^{m+2}}}{\sqrt[n]{a^{n}}}[/tex3]

Note que, nesse ponto, só podemos dizer que [tex3]\sqrt[n]{a^{n}}=a[/tex3] se [tex3]n[/tex3] for ímpar. Ou, se [tex3]n[/tex3] for par, só para [tex3]a>0[/tex3] .

Como há todas essas restrições, não podemos cortar, no denominador, o índice da raiz com o expoente. Assim, partimos para a operação com expoentes, que consegue safar essa restrição:

[tex3]\frac{\sqrt[n]{a^{m+2}}}{\sqrt[n]{a^{n}}}\,\,\,\to\,\,\,\sqrt[n]{\frac{a^{m+2}}{a^n}}\,\,\,\to\,\,\,\sqrt[n]{a^{m+2-n}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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