IME / ITA ⇒ (IMO-67) Trigonometria Tópico resolvido

[mionsk]

Prove que [tex3]\cos \frac{\pi }{7}- \cos \frac{2\pi }{7}+\cos\frac{3\pi }{7}=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \frac{\pi }{7}- \cos \frac{2\pi }{7}+\cos\frac{3\pi }{7}=\frac{1}{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Prova

[tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\frac{2π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

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[tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\frac{2π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

[tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\(π -\frac{5π}{7}\) + \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

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[tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\(π -\frac{5π}{7}\) + \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

[tex3]E=\cos\frac{π}{7}- \( - \cos\frac{5π}{7}\) + \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

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[tex3]E=\cos\frac{π}{7}- \( - \cos\frac{5π}{7}\) + \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

[tex3]E=\cos\frac{π}{7}+\cos\frac{5π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

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[tex3]E=\cos\frac{π}{7}+\cos\frac{5π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}[/tex3]

Multiplique e divida toda a expressão por [tex3]2\cdot \sen \(\frac{\pi}{7}\)[/tex3]

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[tex3]2\cdot \sen \(\frac{\pi}{7}\)[/tex3]

, temos;

[tex3]E=\frac{2\cdot \sen\frac{π}{7}}{2\cdot \sen\frac{π}{7}}\(\cos\frac{π}{7}+\cos\frac{3π}{7}+ \cos\frac{5π}{7}\)[/tex3]

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[tex3]E=\frac{2\cdot \sen\frac{π}{7}}{2\cdot \sen\frac{π}{7}}\(\cos\frac{π}{7}+\cos\frac{3π}{7}+ \cos\frac{5π}{7}\)[/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{2\cdot \sen\frac{π}{7}}\cdot \(2\sen\frac{π}{7}\cdot \cos\frac{π}{7}+2\cos\frac{3π}{7}\cdot \sen\frac{π}{7}+2\cos\frac{5π}{7}\cdot \sen\frac{π}{7}\)[/tex3]

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[tex3]E=\frac{1}{2\cdot \sen\frac{π}{7}}\cdot \(2\sen\frac{π}{7}\cdot \cos\frac{π}{7}+2\cos\frac{3π}{7}\cdot \sen\frac{π}{7}+2\cos\frac{5π}{7}\cdot \sen\frac{π}{7}\)[/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{2\sen\frac{π}{7}}[\sen\frac
{2π}{7}+\(\sen\(\frac{3π+π}{7}\)-\sen\(\frac{3π-π}{7}\)\)+ \(\sen\(\frac{5π+π}{7}\)-\sen\(\frac{5π-π}{7}\)\)] [/tex3]

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[tex3]E=\frac{1}{2\sen\frac{π}{7}}[\sen\frac
{2π}{7}+\(\sen\(\frac{3π+π}{7}\)-\sen\(\frac{3π-π}{7}\)\)+ \(\sen\(\frac{5π+π}{7}\)-\sen\(\frac{5π-π}{7}\)\)] [/tex3]

[tex3]E=\frac{1}{2\sen\frac{π}{7}}\cdot \(\sen\frac{2π}{7}+ \sen\frac{4π}{7}-\sen\frac{2π}{7}+\sen\frac{6π}{7}-\sen\frac{4π}{7}\)[/tex3]

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[tex3]E=\frac{1}{2\sen\frac{π}{7}}\cdot \(\sen\frac{2π}{7}+ \sen\frac{4π}{7}-\sen\frac{2π}{7}+\sen\frac{6π}{7}-\sen\frac{4π}{7}\)[/tex3]

[tex3]E = \frac{\sen\frac{6π}{7}}{2\sen\frac{π}{7}}[/tex3]

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[tex3]E = \frac{\sen\frac{6π}{7}}{2\sen\frac{π}{7}}[/tex3]

[tex3]E = \frac{\sen\(\pi -\frac{π}{7}\)}{2\sen\frac{π}{7}}[/tex3]

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[tex3]E = \frac{\sen\(\pi -\frac{π}{7}\)}{2\sen\frac{π}{7}}[/tex3]

[tex3]E = \frac{\sen\frac{π}{7}}{2\sen\frac{π}{7}}=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]E = \frac{\sen\frac{π}{7}}{2\sen\frac{π}{7}}=\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, a expressão [tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\frac{2π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}= \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]E=\cos\frac{π}{7}-\cos\frac{2π}{7}+ \cos\frac{3π}{7}= \frac{1}{2}[/tex3]

c.q.p.



Bons estudos!

[mionsk]

Muito obrigado pelo auxilio! tmj cardoso