Olimpíadas ⇒ (KOREA-05) Trigonometria Tópico resolvido

[mionsk]

Sabendo que [tex3]\frac{\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+ \cos 3^{\circ}+...+\cos 44^{\circ}}{\sen 1^{\circ}+\sen2^{\circ}+\sen3^{\circ}+...+\sen44^{\circ}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+ \cos 3^{\circ}+...+\cos 44^{\circ}}{\sen 1^{\circ}+\sen2^{\circ}+\sen3^{\circ}+...+\sen44^{\circ}}[/tex3]

representa um número irracional da forma [tex3]a+b\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]a+b\sqrt{2}[/tex3]

. Então o valor de [tex3]a+b[/tex3]

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[tex3]a+b[/tex3]

é igual a:

OBS: NÃO POSSUO GABARITO//ALTERNATIVAS A SEGUIR.

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

[Ittalo25]

Pelas fórmulas de prostaférese:

[tex3]\begin{cases}
\cos(x)+\cos(45^o-x)=2\cdot \cos\left(\frac{45^o}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{45^o-2x}{2}\right) \\
\sen(x)+\sen(45^o-x)=2\cdot \sen\left(\frac{45^o}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{45^o-2x}{2}\right)
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\cos(x)+\cos(45^o-x)=2\cdot \cos\left(\frac{45^o}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{45^o-2x}{2}\right) \\
\sen(x)+\sen(45^o-x)=2\cdot \sen\left(\frac{45^o}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{45^o-2x}{2}\right)
\end{cases}[/tex3]

Ou seja, somando os extremos:

[tex3]\frac{\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+ \cos 3^{\circ}+...+\cos 44^{\circ}}{\sen 1^{\circ}+\sen2^{\circ}+\sen3^{\circ}+...+\sen44^{\circ}} = [/tex3]

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[tex3]\frac{\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+ \cos 3^{\circ}+...+\cos 44^{\circ}}{\sen 1^{\circ}+\sen2^{\circ}+\sen3^{\circ}+...+\sen44^{\circ}} = [/tex3]

[tex3]\frac{22\cdot 2 \cdot \cos\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot \[\cos\left(\frac{43^o}{2}\right)+\cos\left(\frac{41^o}{2}\right)+...\]}{22\cdot 2 \cdot \sen\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot \[\cos\left(\frac{43^o}{2}\right)+\cos\left(\frac{41^o}{2}\right)+...\]} =\cot\left(\frac{45^o}{2}\right) = \boxed {1}[/tex3]

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[tex3]\frac{22\cdot 2 \cdot \cos\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot \[\cos\left(\frac{43^o}{2}\right)+\cos\left(\frac{41^o}{2}\right)+...\]}{22\cdot 2 \cdot \sen\left(\frac{45^o}{2}\right) \cdot \[\cos\left(\frac{43^o}{2}\right)+\cos\left(\frac{41^o}{2}\right)+...\]} =\cot\left(\frac{45^o}{2}\right) = \boxed {1}[/tex3]

e portanto: [tex3]\begin{cases}
a=1 \\
b=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a=1 \\
b=0
\end{cases}[/tex3]

Ou seja: [tex3]\boxed {a+b = 1} [/tex3]

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[tex3]\boxed {a+b = 1} [/tex3]

[mionsk]

Obrigado italo, ajudou mto!