IME / ITA[AFA] Geometria analítica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
fefeliperaro
iniciante
Mensagens: 4
Registrado em: Seg 12 Fev, 2018 16:38
Última visita: 15-08-19
Mai 2018 16 11:02

[AFA] Geometria analítica

Mensagem não lida por fefeliperaro »

Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:
[tex3]\lambda_{1}: x^2+y^2+2x-4y-1=0[/tex3]
[tex3]\lambda_{2}: 4x^2+4y^2+12x-8y-15=0[/tex3]
[tex3]\lambda_{3}: (x-7)^2+(y+3)^2=8[/tex3]

O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual a média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em m^3, igual a:

A)21/2
B)21/4
C)49/2
D)49/4

Resposta

Gabarito: D




Avatar do usuário
fortran
2 - Nerd
Mensagens: 72
Registrado em: Sex 27 Abr, 2018 12:12
Última visita: 15-10-22
Mai 2018 16 11:56

Re: [AFA] Geometria analítica

Mensagem não lida por fortran »

Bom, se você utilizar o método do complemento do quadrado perfeito (se tiver dúvida nisso me dá um toque que eu tento te explicar), poderá reescrever as equações das circunferências como:

[tex3]\Rightarrow \lambda_{1} : (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=6[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \lambda_{2} : \left( x+\frac{3}{2} \right)^{2} +(y-1)^{2}=7[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \lambda_{3} : (x-7)^{2} + (y+3)^{2}=8[/tex3]

De onde tiramos as informações:

[tex3]\Rightarrow C_{1}=(-1,2)[/tex3] e [tex3]r_{1}^{2}=6[/tex3]
[tex3]\Rightarrow C_{2}= \left( -\frac{3}{2},1 \right)[/tex3] e [tex3]r_{2}^{2}=7[/tex3]
[tex3]\Rightarrow C_{3}=(7,-3)[/tex3] e [tex3]r_{3}^{2}=8[/tex3]

Logo, a altura será dada por:

[tex3]\Rightarrow h = \frac{6+7+8}{3}=7[/tex3]

E a área da base será a área do triângulo formado pelos centros. Logo:

[tex3]
\Rightarrow \Delta =
\left|
\begin{array}{ccc}
-1 & \ 2 & \ 1 \\
-3/2 & \ 1 & \ 1 \\
\ \ 7 & -3 \ \ & \ 1
\end{array}
\right|
=\frac{21}{2}
[/tex3]

[tex3]\Rightarrow A=\frac{1}{2} | \Delta |= \frac{21}{4}[/tex3]

E finalmente, o volume do sólido será:

[tex3]\Rightarrow V=\frac{1}{3}Ah=\frac{49}{4}[/tex3]

Última edição: fortran (Qua 16 Mai, 2018 12:05). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
fefeliperaro
iniciante
Mensagens: 4
Registrado em: Seg 12 Fev, 2018 16:38
Última visita: 15-08-19
Mai 2018 16 19:29

Re: [AFA] Geometria analítica

Mensagem não lida por fefeliperaro »

Entendi tudo, porém poderia me explicar como vc chegou nessa equação reduzida
[tex3]\Rightarrow \lambda_{2} : \left( x+\frac{3}{2} \right)^{2} +(y-1)^{2}=7[/tex3]



Avatar do usuário
fortran
2 - Nerd
Mensagens: 72
Registrado em: Sex 27 Abr, 2018 12:12
Última visita: 15-10-22
Mai 2018 17 08:56

Re: [AFA] Geometria analítica

Mensagem não lida por fortran »

Sabemos que toda circunferência pode ser escrita como:

[tex3]\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}[/tex3]

Onde se você expandir os termos:

[tex3]\Rightarrow (x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow (y-b)^{2}=y^{2}-2by+b^{2}[/tex3]

Irá perceber que o coeficiente dos termos [tex3]x^{2}[/tex3] e [tex3]y^{2}[/tex3] será sempre [tex3]1[/tex3] . Logo, comece dividindo toda a equação original por 4, obtendo:

[tex3]\Rightarrow \lambda_{2} : 4x^{2} + 4y^{2} + 12x - 8y - 15 = 0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lambda_{2} : x^{2} + y^{2} + 3x - 2y - \frac{15}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lambda_{2} : x^{2} + 3x + y^{2} - 2y - \frac{15}{4} = 0[/tex3]

Que em seguida fazemos o complemento do quadrado:

[tex3]\Rightarrow \left( x+ \frac{3}{2} \right)^{2}=x^{2}+3x+\frac{9}{4}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \left( x+ \frac{3}{2} \right)^{2}-\frac{9}{4}=x^{2}+3x[/tex3]

[tex3]\Rightarrow (y-1)^{2}=y^{2}-2y+1[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow (y-1)^{2}-1=y^{2}-2y[/tex3]

Substituindo estas relações na equação de [tex3]\lambda_{2}[/tex3] , vem que:

[tex3]\Rightarrow \lambda_{2} : \left( x+ \frac{3}{2} \right)^{2}-\frac{9}{4}+(y-1)^{2}-1- \frac{15}{4}=0[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \lambda_{2} : \left( x+\frac{3}{2} \right)^{2} +(y-1)^{2}=7[/tex3]



Avatar do usuário
MatheusBorges
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2047
Registrado em: Dom 16 Jul, 2017 10:25
Última visita: 18-01-24
Mai 2018 17 10:58

Re: [AFA] Geometria analítica

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Respeitando a ótima resolução do Fortran, vou compartilhar uma outra forma que o Prof Iezzi ensinou e que é MUITO prática para descobrir o centro de uma circunferência, que é esta:
[tex3](\lambda )(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\
(\lambda )x^{2}+y^{2}+0.xy-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0(I)\\
[/tex3]
Que nada mais é que uma equação genérica de uma circunferência.
Agora perceba este polinômio de 2 grau:
[tex3]Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0 [/tex3]
Supondo [tex3]A\neq 0[/tex3] , vem que:
[tex3]x^{2}+\frac{By}{A}+\frac{Cxy}{A}+\frac{Dx}{A}+\frac{Ey}{A}+\frac{F}{A}=0(II)[/tex3]
Comparando cada termo de (II) e (I), facilmente encontramos as seguintes relações:
[tex3]y^{2}\rightarrow \frac{B}{A}=1\rightarrow B=A\\
C=0\\
\frac{D}{A}=-2a(III)\\\\
\frac{E}{A}=-2b(IV)\\
\frac{F}{A}=a^{2}+b^{2}-r^{2}(V)[/tex3]

Descobrindo o centro:
[tex3]\Leftrightarrow \lambda_{2} : x^{2} + y^{2} + 3x - 2y - \frac{15}{4} = 0[/tex3]
[tex3]\frac{3}{1}=-2.a\rightarrow a=-\frac{3}{2}\\
\frac{-2}{1}=-2b\rightarrow b=1[/tex3]
Buscando o raio:
[tex3]a^{2}+b^{2}-F=r^{2}=\frac{9}{4}+1-\left(-\frac{15}{4}\right)=7[/tex3] (Fiz isso por que A=1)
Gosto bastante desse método, que com um pouquinho de prática é só bater o olho na equação que você já encontra o centro e o raio de "cabeça".

Última edição: MatheusBorges (Qui 17 Mai, 2018 11:00). Total de 1 vez.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem [Geometria Analitica] Indicacao de livros de Geometria Analitica
    por Israfel » » em Ensino Superior
    3 Respostas
    5100 Exibições
    Última msg por Cardoso1979
  • Nova mensagem (AFA - 1997) Geometria Espacial
    por LtCharly » » em IME / ITA
    3 Respostas
    984 Exibições
    Última msg por Fibonacci13
  • Nova mensagem (AFA - 2005) Geometria Plana
    por ALDRIN » » em IME / ITA
    1 Respostas
    884 Exibições
    Última msg por castelohsi
  • Nova mensagem (AFA - 2003) Geometria Espacial
    por ALDRIN » » em IME / ITA
    1 Respostas
    815 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem (AFA) Matrizes
    por ASPIRADEDEU » » em IME / ITA
    2 Respostas
    1393 Exibições
    Última msg por ASPIRADEDEU

Voltar para “IME / ITA”