IME / ITA

Tem-se duas circunferências secantes nos pontos A e B, logo traça-se uma reta tangente a ditas circunferências nos pontos M e N.Se AB=4 e B é o baricentro da região AMN, calcule (BM)² + (BN)².
A)4
B)8
C)16
D)32
E)64

Resposta

D

Mensagem não lidapor **jvmago** » Dom 22 Abr, 2018 19:46 · Mensagem não lida por **jvmago** » Dom 22 Abr, 2018 19:46

Esboce duas circunferências de raio [tex3]r[/tex3] e a trace a reta [tex3]MN[/tex3] tangente comum as duas.

Como elas tem raios côngruos e tem uma tangente comum, o [tex3]\Delta AMN[/tex3] é isósceles de base [tex3]MN[/tex3] .

Pela fato do triângulo ser isósceles, a mediana relativa ao vértice [tex3]A[/tex3] será também é altura.

Seja [tex3]H[/tex3] o pé da perpendicular, em [tex3]MN[/tex3] , relativa ao vertice [tex3]A[/tex3] , temos que [tex3]BH=2[/tex3] e que [tex3]MH=NH=a[/tex3] .

Observando a perpendicular [tex3]OM[/tex3] , onde [tex3]O[/tex3] é o centro de uma das circunferências, vemos por paralelismo que [tex3]OM=AB=r=4[/tex3] .

Trace agora a perpendicular [tex3]BK[/tex3] , com [tex3]K[/tex3] em [tex3]OM[/tex3] , e obteremos um [tex3]\Delta OKB[/tex3] de catetos: [tex3]a,r-2[/tex3] e hipotenusa [tex3]r[/tex3]

Aplicando pitágoras temos:

[tex3]a^2=16-4[/tex3]
[tex3]a^2=12[/tex3]

Como [tex3]BH[/tex3] é mediana e altura então o [tex3]\Delta BMN[/tex3] é isósceles e consequentemente [tex3]BM=BN[/tex3] .

Aplicando pitágoras no [tex3]\Delta HNB[/tex3] teremos:

[tex3]BN^2=HN^2+BH^2[/tex3]
[tex3]2BN^2=2(a^2+2^2)[/tex3]
[tex3]2BN^2=2(12+4)[/tex3]
[tex3]2BN^2=2BM^2=BM^2+BN^2=32[/tex3]

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