IME / ITAITA Circunferência com reta tangente Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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DarkKnight
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ITA Circunferência com reta tangente

Mensagem não lida por DarkKnight »

Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR, respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR.Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a :
Resposta

A resposta é 5 mas,eu não entendi como pode ser esse valor.Não teria de ser um valor menor que cinco pois,ainda se tem os lados MA E NB ...
Anexos
ita-2015-18.jpg
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jvmago
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Re: ITA Circunferência com reta tangente

Mensagem não lida por jvmago »

Façamos uma primeira suposição que o [tex3]\Delta PQR[/tex3] seja isósceles de base [tex3]QR[/tex3] temos então que [tex3]C[/tex3] é ponto médio de [tex3]QR[/tex3] e [tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3]

Se [tex3]\Delta PQR[/tex3] é isósceles então [tex3]QP=RP=7,5[/tex3] .

Se [tex3]QP=RP=7,5[/tex3] e [tex3]QC=RC=QA=RB=5[/tex3] então [tex3]AP=BP=2,5[/tex3] .

O perímetro do [tex3]\Delta PQR[/tex3] é [tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3] porém, [tex3]MD=AM[/tex3] e [tex3]DN=NB[/tex3] substituindo na formula teremos:
[tex3]2p=PM+DM+DN+PN[/tex3]
[tex3]2p=PM+AM+NB+PN[/tex3] e isso é genial pois [tex3]PA=PM+MA=2,5[/tex3] e [tex3]PB=PN+NB=2,5[/tex3] logo

[tex3]2p=PM+PB=2,5+2,5=5[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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MatheusBorges
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Re: ITA Circunferência com reta tangente

Mensagem não lida por MatheusBorges »

jvmago, já te disse que não se pode fazer isso. A é isósceles por que quero. Falou tem que provar. Fizer isso em prova aberta já era, perde a questão mesmo sabendo o conteúdo.
Façamos [tex3]\overline{QC}=x=\overline{QA}\\
\overline{CR}=y=\overline{BR}\\
\overline{AM}=\overline{MD}=z\\
\overline{DN}=\overline{NB}=t\\
\overline{MP}=n\\
\overline{PN}=m\\
\overline{QR}=x+y\\
2.(x+y)=20\\
z+n+m+t=5[/tex3]
Ora mas isso é o perímetro do triângulos PMN!
Só foi usado a ideia de segmentos tangentes a circunferência
Última edição: MatheusBorges (Sex 20 Abr, 2018 15:21). Total de 2 vezes.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

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jvmago
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Re: ITA Circunferência com reta tangente

Mensagem não lida por jvmago »

MafIl10, Saiu até mais elegante a sua no caso.
Última edição: jvmago (Sex 20 Abr, 2018 15:40). Total de 1 vez.


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Papiro8814
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Fev 2024 11 13:44

Re: ITA Circunferência com reta tangente

Mensagem não lida por Papiro8814 »

Vou resolver de uma forma bem tranquila...
1 - Existe uma relação que é meio secundária, mas ela poderia ter lhe ajudado muito
p - a = x
o semiperímetro menos o lado oposto é igual ao segmento tangente
Não irei fazer a demonstração, mas recomendo que pesquise um pouco sobre
2 - substituir
25/2 - 10 = x (olhe para o desenho do nosso camarada DarkKnight)
12,5 - 10 = x
x = 2,5
3 - só responder
o perímetro é sempre o dobro...
2,5x2 = 5

RUMO AO CN!

Última edição: Papiro8814 (Dom 11 Fev, 2024 13:45). Total de 1 vez.



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