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Desenha-se no plano complexo o triangulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números complexo z1 , z2,z3 , que são raízes cubicas da unidade. Desenha-se o triangulo S , com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos w1,w2,w3, que são raízes cubicas de 24 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] . Se A é área de T e B é a área de S , então

A) B=12A
B) B=18A
C) B=24A
D) B=36A
E) B=42A

Resposta

A

[tex3]z_1=\sqrt{1}=1[/tex3]

[tex3]w_1=\sqrt[3]{24\sqrt{3}}[/tex3]

As [tex3]n[/tex3] raízes complexas de um número complexo determinam um polígono regular de [tex3]n[/tex3] vértices no plano de Argand-Gauss, onde todos os vértices estão à mesma distância da origem do plano.

Temos, então, nesse caso, dois triângulos equiláteros, onde o incentro (e, portanto, todos os outros pontos notáveis) localiza-se na origem do plano.

Da geometria plana, a distância de um dos vértices de um triângulo até o seu baricentro é igual a [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] do comprimento total da mediana correspondente.

Dessa forma:

1) a medida da mediana (que também é a da altura) do triângulo de vértices [tex3]z_1[/tex3] , [tex3]z_2[/tex3] e [tex3]z_3[/tex3] é igual a [tex3]\frac{3z_1}{2}[/tex3] .

2) a medida da mediana (que também é a da altura) do triângulo de vértices [tex3]w_1[/tex3] , [tex3]w_2[/tex3] e [tex3]w_3[/tex3] é igual a [tex3]\frac{3w_1}{2}[/tex3] .

Também da geometria plana, a área [tex3]S[/tex3] de um triângulo equilátero é igual a [tex3]\frac{l^3\sqrt{3}}{4}[/tex3] e a sua altura [tex3]h[/tex3] é igual a [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3] , onde [tex3]l[/tex3] é a medida do lado do polígono.

Combinando as duas equações, temos que [tex3]S=\frac{\sqrt{3}h^2}{3}[/tex3] .

[tex3]S_z=\frac{\sqrt{3}\(\frac{3z_1}{2}\)^2}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]S_w=\frac{\sqrt{3}\(\frac{3w_1}{2}\)^2}{3}=\frac{\sqrt{3}\(\frac{3\sqrt[3]{24\sqrt{3}}}{2}\)^2}{3}=\frac{36\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{S_w}{S_z}=\frac{\frac{36\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}}=12[/tex3]

Mensagem não lidapor **gouy** » Seg 15 Abr, 2024 17:17 · Mensagem não lida por **gouy** » Seg 15 Abr, 2024 17:17

O que quer dizer "raízes cubicas da unidade"???

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