IME / ITA(PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos

Mensagem não lida por AugustoCRF »

Seja ABCDEF um hexágono inscrito em uma circunferência de raio r. Mostre que se AB = CD = EF = r. Então os pontos médios de BC, DE, FA, são os vértices de um triângulo equilátero.

Questão retirada do livro Complexos e Polinômios do Caio Guimarães, não entendi a resolução que ele apresenta.
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MatheusBorges
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Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos

Mensagem não lida por MatheusBorges »

AugustoCRF, acho que não envolva complexo não. Se tu ligar [tex3]M_1[/tex3] ao centro você terá o apótema da circunferência inscrita, veja que fazendo isso com [tex3]M_2[/tex3] e [tex3]M_3[/tex3] dividimos o [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3] em 3 triângulos isósceles, por que o apótema de um triângulo é o raio da circunferência inscrita. Veja que o obtuso de cada triângulo é [tex3]120^{\circ}[/tex3] (I), exemplo:
Sendo o o centro da circunferência, o ângulo [tex3]M_3OE\equiv 30^{\circ}[/tex3] pois [tex3]\overline{M_3O}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\overline{DE}[/tex3] fazendo analogia com o ângulo [tex3]M_2\hat OF[/tex3] e juntando com o Ângulo cêntrico que ele já te deu, que no caso é [tex3]a_6=\frac{360}{6}=60^{\circ}[/tex3] , provamos (I).
Agora veja sendo os lados dos três triângulos isósceles, o seus ângulos respectivos são [tex3]30^{\circ}[/tex3] , disso sai que [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3] é equilátero pois tem 3 ângulos congruentes!



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MatheusBorges
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Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos

Mensagem não lida por MatheusBorges »

IMG_1221.JPG
IMG_1221.JPG (174.07 KiB) Exibido 1579 vezes
Da para vê também que os [tex3]\triangle M_1M_3O\equiv\triangle M_2M_2O \equiv\triangle M_2OM_1[/tex3] pelo caso LAL, logo [tex3]\overline{M_1M_2}\equiv\overline{M_3M_2}\equiv\overline{M_1M_2}[/tex3] e assim [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3] é equilátero!


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AugustoCRF
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Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos

Mensagem não lida por AugustoCRF »

No capítulo que tinha essa questão ele resolvia problemas de geometria com números complexos, eu não tinha entendido a resolução dele, mas vendo a solução que você colocou eu consegui relacionar com as propriedades que ele passou. Obrigado




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