IME / ITA ⇒ (Apostila IME/ITA PENSI) Inequação com Raízes Tópico resolvido

[EduArdov]

Para quais valores reais [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

vale:

[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

??

Resposta

---

todos os valores reais

Pensei em ver a diferença e tentar fatorar, mas n saiu nada. Se alguém puder ajudar: valeu !

[MatheusBorges]

[tex3](a+b)^{2}-2ab=x\\
ab=y\\
\sqrt[2]{x}\geq \sqrt[3]{(\sqrt[2]{x+2y})(x-y)}\\
x^{3}=(x+2y)(x^{2}+y^{2}-2xy)\\
3y^{2}x\geq2y^{3}\\
y^{2}(3x)=y^{2}\cdot (2y)\rightarrow y=0\\
3x> 2y\\
a^{2}+b^{2}> \frac{2\cdot ab}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^{2}-2ab=x\\
ab=y\\
\sqrt[2]{x}\geq \sqrt[3]{(\sqrt[2]{x+2y})(x-y)}\\
x^{3}=(x+2y)(x^{2}+y^{2}-2xy)\\
3y^{2}x\geq2y^{3}\\
y^{2}(3x)=y^{2}\cdot (2y)\rightarrow y=0\\
3x> 2y\\
a^{2}+b^{2}> \frac{2\cdot ab}{3}[/tex3]

[MatheusBorges]

Como o André disse que a resolução está certa vou colocar o que pensei. Por que pode ter sido meio maquiavélico, "o fim justifica os meios" e isso não é bom nem pro meu muito menos para o estudo do colega da postagem.
[tex3]\sqrt[2]{x+2y}=\sqrt[2]{(a+b)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[2]{x+2y}=\sqrt[2]{(a+b)^{2}}[/tex3]

Veja que quando "tirei" a raiz continuou x+2y, ou seja um número não negativo.
[tex3]\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3]

e sabemos que [tex3]a^{2}+b^{2}\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+b^{2}\geq 0[/tex3]

.
[tex3]a^{2}+b^{2}>\frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+b^{2}>\frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Se a e b tem sinais contrários a desigualdade é óbvia. Se a e b são não negativos (veja que se a e b tem sinais negativos [tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

pelos expoentes e os indíces das raízes isso é uma tautologia.) podemos utilizar este artifício:
[tex3]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}\\
a^{2}+b^{2}\geq 2a.b\geq \frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}\\
a^{2}+b^{2}\geq 2a.b\geq \frac{2.a.b}{3}[/tex3]

E como partimos do pressuposto de que a desigualdade é verdadeira e chegamos a uma outra verdade, pelo estudo de lógica/conjuntos está provado:
[tex3]V\rightarrow V[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V\rightarrow V[/tex3]

Não sei se cobri todas as partes de contraprova, mas como sou novo nos estudos, dá um desconto.

[EduArdov]

Como o André disse que a resolução está certa vou colocar o que pensei. Por que pode ter sido meio maquiavélico, "o fim justifica os meios" e isso não é bom nem pro meu muito menos para o estudo do colega da postagem.
[tex3]\sqrt[2]{x+2y}=\sqrt[2]{(a+b)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[2]{x+2y}=\sqrt[2]{(a+b)^{2}}[/tex3]

Veja que quando "tirei" a raiz continuou x+2y, ou seja um número não negativo.
[tex3]\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3]

e sabemos que [tex3]a^{2}+b^{2}\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+b^{2}\geq 0[/tex3]

.
[tex3]a^{2}+b^{2}>\frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+b^{2}>\frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Se a e b tem sinais contrários a desigualdade é óbvia. Se a e b são não negativos (veja que se a e b tem sinais negativos [tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]

pelos expoentes e os indíces das raízes isso é uma tautologia.) podemos utilizar este artifício:
[tex3]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}\\
a^{2}+b^{2}\geq 2a.b\geq \frac{2.a.b}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}\\
a^{2}+b^{2}\geq 2a.b\geq \frac{2.a.b}{3}[/tex3]

E como partimos do pressuposto de que a desigualdade é verdadeira e chegamos a uma outra verdade, pelo estudo de lógica/conjuntos está provado:
[tex3]V\rightarrow V[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V\rightarrow V[/tex3]

Não sei se cobri todas as partes de contraprova, mas como sou novo nos estudos, dá um desconto.

Olá,
Obrigado por colaborar, MafIl10. Não entendi muito bem o que vc fez não... achei meio confuso.

Pensei um pouco agora, e na verdade é bastante simples.

Basta usar o velho truque em álgebra de partir do que quer provar, e ver se dá pra chegar num ponto onde dá pra reverter fazendo o caminho contrário. E nesse caso dá.
Observe:

[tex3]
(a-b)^{2}+2(a^{2} + b^{2}) >= 0\\
3(a^{2} + b^{2})-2ab >= 0\\
3(a^{2} + b^{2})>=2ab\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
(a-b)^{2}+2(a^{2} + b^{2}) >= 0\\
3(a^{2} + b^{2})-2ab >= 0\\
3(a^{2} + b^{2})>=2ab\\
[/tex3]

multiplicando os dois lados por [tex3]a^{2}b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}b^{2}[/tex3]

[tex3]
3a^{2}b^{2}(a^{2} + b^{2})>=2a^{3}b^{3}\\
a^{6} + b^{6} + 3a^{2}b^{2}(a^{2} + b^{2})>=a^{6} + b^{6} + 2a^{3}b^{3}\\
(a^{2}+b^{2})^{3}>=(a^{3}+b^{3})^{2}\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
3a^{2}b^{2}(a^{2} + b^{2})>=2a^{3}b^{3}\\
a^{6} + b^{6} + 3a^{2}b^{2}(a^{2} + b^{2})>=a^{6} + b^{6} + 2a^{3}b^{3}\\
(a^{2}+b^{2})^{3}>=(a^{3}+b^{3})^{2}\\
[/tex3]

agora tira a raiz sexta dos dois lados dessas coisas positivas:
[tex3]
\sqrt[2]{(a^{2}+b^{2})} >= \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\sqrt[2]{(a^{2}+b^{2})} >= \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}
[/tex3]

[MatheusBorges]

Realmente, assim ficou mais bela a demonstração.

[Andre13000]

De fato considere [tex3]0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\sen\theta+\cos\theta\geq\sqrt{\sen^2\theta+\cos^2\theta}\geq \sqrt[3]{\sen^3\theta+\cos^3\theta}\geq\dots~~(*)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\theta+\cos\theta\geq\sqrt{\sen^2\theta+\cos^2\theta}\geq \sqrt[3]{\sen^3\theta+\cos^3\theta}\geq\dots~~(*)[/tex3]

Multiplicando tudo por [tex3]r\in \mathbb{R^+}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r\in \mathbb{R^+}[/tex3]

:

[tex3]r\sen\theta+r\cos\theta \geq \sqrt{r^2\sen^2\theta+r^2\cos^2\theta}\geq\sqrt[3]{r^3\sen^3\theta+r^3\cos^3\theta}\geq \dots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r\sen\theta+r\cos\theta \geq \sqrt{r^2\sen^2\theta+r^2\cos^2\theta}\geq\sqrt[3]{r^3\sen^3\theta+r^3\cos^3\theta}\geq \dots[/tex3]

Em particular, [tex3]a=r\sen\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=r\sen\theta[/tex3]

e [tex3]b=r\cos\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=r\cos\theta[/tex3]

, de modo que:

[tex3]\boxed{a+b \geq \sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt[3]{a^3+b^3}\geq \dots}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{a+b \geq \sqrt{a^2+b^2}\geq\sqrt[3]{a^3+b^3}\geq \dots}[/tex3]

Para [tex3]a,b\in \mathbb{R^+}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b\in \mathbb{R^+}[/tex3]

Eu não sei uma prova de (*) sem utilizar cálculo.

Edit: tinha invertido todos os sinais da desigualdade