[tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3]
??
Resposta
todos os valores reais
Moderador: [ Moderadores TTB ]
MafIl10 escreveu: ↑Dom 25 Mar, 2018 15:28Como o André disse que a resolução está certa vou colocar o que pensei. Por que pode ter sido meio maquiavélico, "o fim justifica os meios" e isso não é bom nem pro meu muito menos para o estudo do colega da postagem.
[tex3]\sqrt[2]{x+2y}=\sqrt[2]{(a+b)^{2}}[/tex3]
Veja que quando "tirei" a raiz continuou x+2y, ou seja um número não negativo.
[tex3]\sqrt{x}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex3] e sabemos que [tex3]a^{2}+b^{2}\geq 0[/tex3] .
[tex3]a^{2}+b^{2}>\frac{2.a.b}{3}[/tex3]
Se a e b tem sinais contrários a desigualdade é óbvia. Se a e b são não negativos (veja que se a e b tem sinais negativos [tex3]\sqrt{a^2 + b^2} \ge \sqrt[3]{a^3 + b^3}[/tex3] pelos expoentes e os indíces das raízes isso é uma tautologia.) podemos utilizar este artifício:
[tex3]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}\\
a^{2}+b^{2}\geq 2a.b\geq \frac{2.a.b}{3}[/tex3]
E como partimos do pressuposto de que a desigualdade é verdadeira e chegamos a uma outra verdade, pelo estudo de lógica/conjuntos está provado:
[tex3]V\rightarrow V[/tex3]
Não sei se cobri todas as partes de contraprova, mas como sou novo nos estudos, dá um desconto.