IME / ITA ⇒ (Escola Naval-2012) Derivada Tópico resolvido

[jvmago]

Um ponto [tex3]P(x,y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x,y)[/tex3]

move-se ao longo da curva plana de equação [tex3]x^2+4y^2=1[/tex3]

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[tex3]x^2+4y^2=1[/tex3]

, com [tex3]y>0[/tex3]

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[tex3]y>0[/tex3]

. Se abscissa [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

está variando a uma velocidade [tex3]\frac{dx}{dt}=sen4t[/tex3]

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[tex3]\frac{dx}{dt}=sen4t[/tex3]

, pode-se afirmar que a aceleração da ordenada [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

tem por expressão

Resposta

---

[tex3]\frac{-sen^24t-16xy^2cos4t}{16y^3}[/tex3]

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[tex3]\frac{-sen^24t-16xy^2cos4t}{16y^3}[/tex3]

[LucasPinafi]

[tex3]y = \frac 1 2 \sqrt{1-x^2} \\ y' = \frac 1 2 \cdot \frac{-xx'}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x \sen 4t}{\sqrt {1-x^2}} \\ y'' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{[x' \sen 4t+ 4x \cos 4t] \sqrt{1-x^2} + \frac{x^2 x' \sen 4t }{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{[\sen^2 4t + 4x \cos 4t] (1-x^2) + x^2 \sen^2 4t}{(1-x^2)^{3/2}} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{\sen^2 4t - x^2 \sen^2 4t+ 4x \cos 4t (1-x^2)+x^2 \sen^2 4t }{(1-x^2)^{3/2}} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{ \sen^2 4t + 4x (4y^2) \cos 4t}{(2y)^3}= - \frac {- \sen^2 4t - 16xy^2 \cos 4t}{16y^3}[/tex3]

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[tex3]y = \frac 1 2 \sqrt{1-x^2} \\ y' = \frac 1 2 \cdot \frac{-xx'}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x \sen 4t}{\sqrt {1-x^2}} \\ y'' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{[x' \sen 4t+ 4x \cos 4t] \sqrt{1-x^2} + \frac{x^2 x' \sen 4t }{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{[\sen^2 4t + 4x \cos 4t] (1-x^2) + x^2 \sen^2 4t}{(1-x^2)^{3/2}} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{\sen^2 4t - x^2 \sen^2 4t+ 4x \cos 4t (1-x^2)+x^2 \sen^2 4t }{(1-x^2)^{3/2}} \\ y'' = - \frac 1 2 \cdot \frac{ \sen^2 4t + 4x (4y^2) \cos 4t}{(2y)^3}= - \frac {- \sen^2 4t - 16xy^2 \cos 4t}{16y^3}[/tex3]

[jvmago]

Muito obrigado amigo. Não achei que fosse só ficar derivando, pensei que caísse em analítica