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IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Mar 2018
01
17:07
(IME/ITA) Geometria Plana
Na figura: [tex3]BC \parallel AD[/tex3]
, se: [tex3]AP=4[/tex3]
, [tex3]DL=a[/tex3]
e [tex3]CL=b[/tex3]
e [tex3]\sqrt{2}a+\sqrt{2a^2-b^2}=6\sqrt{2}[/tex3]
. Calcular: [tex3]3a+b\sqrt{2}[/tex3]
.
14
14
Última edição: caju (Qui 01 Mar, 2018 17:20). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e TeX.
Razão: Arrumar Título e TeX.
Mar 2018
06
23:02
Re: (IME/ITA) Geometria Plana
Achei [tex3]4\sqrt{2}(a\sqrt{2}-b)=b\sqrt{2a^2-b^2}[/tex3]
Preciso de só mais uma relação com os lados
Preciso de só mais uma relação com os lados
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mar 2018
07
11:26
Re: (IME/ITA) Geometria Plana
Se o [tex3]\Delta PCL[/tex3]
é reto em [tex3]P[/tex3]
e possui um angulo de [tex3]45°[/tex3]
, concluimos que [tex3]CL[/tex3]
é diagonal e que [tex3]PC=PL=\frac{b\sqrt{2}}{2}[/tex3]
.
Observe que [tex3]AL[/tex3] é bissetriz do [tex3]\Delta ADP[/tex3] , aplicando teorema das bissetrizes temos:[tex3]\frac{PL}{AP}=\frac{LD}{AD}[/tex3]
[tex3]AD=\frac{4a\sqrt{2}}{b}[/tex3] .
Como [tex3]AD//BC[/tex3] observamos que os triângulos [tex3]\Delta BPC[/tex3] e [tex3]\Delta APD[/tex3] são semelhantes de razão [tex3]k=\frac{AP}{PC}=\frac{8}{b\sqrt{2}}[/tex3] . Fazendo o produto do inverso da razão [tex3]k[/tex3] pelo lado [tex3]AD[/tex3] obtemos [tex3]BC=\frac{4a\sqrt{2}}{b}*\frac{b\sqrt{2}}{8}=a[/tex3] que é algo brilhante pois, se traçarmos uma perpendicular [tex3]LH[/tex3] de maneira que o ponto [tex3]H[/tex3] esteja sobre [tex3]AD[/tex3] obtemos [tex3]\Delta BPC[/tex3] ~[tex3]\Delta HLD[/tex3] porém eles tem o mesmo lado [tex3]a[/tex3] em logo : [tex3]\Delta BPC = \Delta LHD[/tex3] .
Pela ultima dedução concluímos varias coisas [tex3]PL=LH=\frac{b\sqrt{2}}{2}[/tex3] logo [tex3]\Delta APL = \Delta ALH[/tex3] acarretando em [tex3]AH=4[/tex3] e [tex3]HD=\frac{4(a\sqrt{2}-b)}{b}[/tex3] mas espera ai!
Olhando o [tex3]\Delta ADP[/tex3] e o [tex3]\Delta BPC[/tex3] obtemos por semlhança que [tex3]BP=AD*\frac{b\sqrt{2}}{8}\rightarrow BP=\frac{b\sqrt{2}(b\sqrt{2}+2a)}{16}=\frac{b(b+a\sqrt{2})}{8}=HD[/tex3] . (Lega
l!!!!!!)
Quando [tex3]HD=\frac{4(a\sqrt{2}-b)}{b}[/tex3] teremos no [tex3]\Delta LHD[/tex3] :
[tex3]LH^2+HD^2=LD^2[/tex3]
[tex3]\frac{16(a\sqrt{2}-b)^2}{b^2}+\frac{b^2}{2}=a^2[/tex3]
[tex3]32(a\sqrt{2}-b)^2=b^2(2a^2-b^2)[/tex3]
Aplicando a raíz temos:
[tex3]4\sqrt{2}(a\sqrt{2}-b)=b*\sqrt{2a^2-b^2}[/tex3]
Usando a informação do enunciado
[tex3]4\sqrt{2}(a\sqrt{2}-b)=b\sqrt{2}(6-a)[/tex3]
[tex3]8a-10b\sqrt{2}=-ab\sqrt{2}[/tex3] (guardaremos esta informação)
Quando [tex3]HD=\frac{b(b+a\sqrt{2})}{8}[/tex3]
[tex3]LH^2+HD^2=LD^2[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(b+a\sqrt{2})^2}{64}+\frac{b^2}{2}=a^2[/tex3]
[tex3]b^2(b+a\sqrt{2})^2=32(2a^2-b^2)[/tex3]
Aplicando a raíz
[tex3]b(b+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\sqrt{2a^2-b^2}[/tex3]
[tex3]b(b+a\sqrt{2})=4\sqrt{2}*(6\sqrt{2}-a\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]b^2+ab\sqrt{2}=48-8a[/tex3]
[tex3]-ab\sqrt{2}=-48+8a+b^2[/tex3] (Poxa isso aqui é legal)
faça essa substituição na primeira equação
[tex3]8a-10b\sqrt{2}=-48+8a+b^2[/tex3]
[tex3]b^2+10\sqrt{2}b-48=0[/tex3] agora ficou trivial
[tex3]\Delta =392=2*14^2[/tex3]
[tex3]b=\frac{-10\sqrt{2}\pm 14\sqrt{2}}{2}\rightarrow b=2\sqrt{2}[/tex3]
susbtituindo em :
[tex3]a\sqrt{2}-6\sqrt{a}=\sqrt{2a^2-8}[/tex3] elevando ao quadrado
[tex3]-24a+72=-8[/tex3]
[tex3]a=\frac{10}{3}[/tex3]
Finalmente, [tex3]3*\frac{10}{3}+2\sqrt{2}*\sqrt{2}=14[/tex3]
Questão muito maneira
Observe que [tex3]AL[/tex3] é bissetriz do [tex3]\Delta ADP[/tex3] , aplicando teorema das bissetrizes temos:[tex3]\frac{PL}{AP}=\frac{LD}{AD}[/tex3]
[tex3]AD=\frac{4a\sqrt{2}}{b}[/tex3] .
Como [tex3]AD//BC[/tex3] observamos que os triângulos [tex3]\Delta BPC[/tex3] e [tex3]\Delta APD[/tex3] são semelhantes de razão [tex3]k=\frac{AP}{PC}=\frac{8}{b\sqrt{2}}[/tex3] . Fazendo o produto do inverso da razão [tex3]k[/tex3] pelo lado [tex3]AD[/tex3] obtemos [tex3]BC=\frac{4a\sqrt{2}}{b}*\frac{b\sqrt{2}}{8}=a[/tex3] que é algo brilhante pois, se traçarmos uma perpendicular [tex3]LH[/tex3] de maneira que o ponto [tex3]H[/tex3] esteja sobre [tex3]AD[/tex3] obtemos [tex3]\Delta BPC[/tex3] ~[tex3]\Delta HLD[/tex3] porém eles tem o mesmo lado [tex3]a[/tex3] em logo : [tex3]\Delta BPC = \Delta LHD[/tex3] .
Pela ultima dedução concluímos varias coisas [tex3]PL=LH=\frac{b\sqrt{2}}{2}[/tex3] logo [tex3]\Delta APL = \Delta ALH[/tex3] acarretando em [tex3]AH=4[/tex3] e [tex3]HD=\frac{4(a\sqrt{2}-b)}{b}[/tex3] mas espera ai!
Olhando o [tex3]\Delta ADP[/tex3] e o [tex3]\Delta BPC[/tex3] obtemos por semlhança que [tex3]BP=AD*\frac{b\sqrt{2}}{8}\rightarrow BP=\frac{b\sqrt{2}(b\sqrt{2}+2a)}{16}=\frac{b(b+a\sqrt{2})}{8}=HD[/tex3] . (Lega
l!!!!!!)Quando [tex3]HD=\frac{4(a\sqrt{2}-b)}{b}[/tex3] teremos no [tex3]\Delta LHD[/tex3] :
[tex3]LH^2+HD^2=LD^2[/tex3]
[tex3]\frac{16(a\sqrt{2}-b)^2}{b^2}+\frac{b^2}{2}=a^2[/tex3]
[tex3]32(a\sqrt{2}-b)^2=b^2(2a^2-b^2)[/tex3]
Aplicando a raíz temos:
[tex3]4\sqrt{2}(a\sqrt{2}-b)=b*\sqrt{2a^2-b^2}[/tex3]
Usando a informação do enunciado
[tex3]4\sqrt{2}(a\sqrt{2}-b)=b\sqrt{2}(6-a)[/tex3]
[tex3]8a-10b\sqrt{2}=-ab\sqrt{2}[/tex3] (guardaremos esta informação)
Quando [tex3]HD=\frac{b(b+a\sqrt{2})}{8}[/tex3]
[tex3]LH^2+HD^2=LD^2[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(b+a\sqrt{2})^2}{64}+\frac{b^2}{2}=a^2[/tex3]
[tex3]b^2(b+a\sqrt{2})^2=32(2a^2-b^2)[/tex3]
Aplicando a raíz
[tex3]b(b+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}\sqrt{2a^2-b^2}[/tex3]
[tex3]b(b+a\sqrt{2})=4\sqrt{2}*(6\sqrt{2}-a\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]b^2+ab\sqrt{2}=48-8a[/tex3]
[tex3]-ab\sqrt{2}=-48+8a+b^2[/tex3] (Poxa isso aqui é legal)
faça essa substituição na primeira equação
[tex3]8a-10b\sqrt{2}=-48+8a+b^2[/tex3]
[tex3]b^2+10\sqrt{2}b-48=0[/tex3] agora ficou trivial
[tex3]\Delta =392=2*14^2[/tex3]
[tex3]b=\frac{-10\sqrt{2}\pm 14\sqrt{2}}{2}\rightarrow b=2\sqrt{2}[/tex3]
susbtituindo em :
[tex3]a\sqrt{2}-6\sqrt{a}=\sqrt{2a^2-8}[/tex3] elevando ao quadrado
[tex3]-24a+72=-8[/tex3]
[tex3]a=\frac{10}{3}[/tex3]
Finalmente, [tex3]3*\frac{10}{3}+2\sqrt{2}*\sqrt{2}=14[/tex3]
Questão muito maneira
Última edição: jvmago (Qua 07 Mar, 2018 11:28). Total de 2 vezes.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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