IME / ITA ⇒ (EFOMM) Trigonometria Tópico resolvido

[mionsk]

Sejam x,y e z números reais positivos onde x + y = 1 - z , e sabendo que existem ângulos [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

e [tex3]\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta [/tex3]

onde x= [tex3]\cos ^{2}\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos ^{2}\alpha[/tex3]

.[tex3]\cos ^{2}\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos ^{2}\theta [/tex3]

e y= [tex3]\cos ^{2}\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos ^{2}\alpha [/tex3]

.[tex3]\sen ^{2}\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen ^{2}\theta [/tex3]

, é correto afirmar que o valor mínimo da expressão [tex3]\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z}[/tex3]

- 2 [tex3]\sqrt[]{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[]{2}[/tex3]

.[tex3]\frac{z}{x+y}[/tex3]

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[tex3]\frac{z}{x+y}[/tex3]

é:

A) 6
B) 6 + 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

C) 12
D) 9 + 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

E) 12 + 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Não possuo Gabarito

---

[PedroCosta]

[tex3]x+y + z = 1\\
\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta + z = 1\\
\cos^2\alpha + z = 1 \\
z = \sin^2\alpha[/tex3]

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[tex3]x+y + z = 1\\
\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta + z = 1\\
\cos^2\alpha + z = 1 \\
z = \sin^2\alpha[/tex3]

Podemos escrever como uma função de variáveis x,y, z ou simplificar:
[tex3]f(x,y,z) = \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z} -\frac{2\sqrt{2}z}{x+y}\\
f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta}+\frac{2}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2 \theta}+\frac{3}{\sin^2\alpha} - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta }\\f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot \left(\frac{1}{\cos^2\theta}+\frac{2}{\sin^2\theta}\right)+\frac{3}{\sin^2\alpha} - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta }\\f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot(\sec^2\theta+2\csc^2\theta)+3\csc^2\alpha - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\sec^2\theta+2\csc^2\theta)+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha
\\f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\tg^2\theta+1+2(\cotg^2\theta+1))+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\
f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\tg^2\theta +2\cotg^2\theta + 3)+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\[/tex3]

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[tex3]f(x,y,z) = \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z} -\frac{2\sqrt{2}z}{x+y}\\
f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta}+\frac{2}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2 \theta}+\frac{3}{\sin^2\alpha} - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta }\\f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot \left(\frac{1}{\cos^2\theta}+\frac{2}{\sin^2\theta}\right)+\frac{3}{\sin^2\alpha} - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \cdot \cos^2 \theta + \cos^2\alpha\cdot \sin^2\theta }\\f(\theta,\alpha) = \frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot(\sec^2\theta+2\csc^2\theta)+3\csc^2\alpha - \frac{2\sqrt{2}\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\\f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\sec^2\theta+2\csc^2\theta)+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha
\\f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\tg^2\theta+1+2(\cotg^2\theta+1))+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\
f(\theta,\alpha) = \sec^2\alpha \cdot(\tg^2\theta +2\cotg^2\theta + 3)+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\[/tex3]

Aqui você utilizará o artifício:
[tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex3]

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[tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex3]

[tex3]\frac{\tg^2\theta +2\cotg^2\theta}{2} \geq \sqrt{2\tg^2\theta\cotg^2\theta}\\
\tg^2\theta +2\cotg^2\theta +3 \geq 3+ 2\sqrt{2\tg^2\theta\cotg^2\theta}\\
\tg^2\theta +2\cotg^2\theta +3 \geq 3+ 2\sqrt{2}\\
[/tex3]

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[tex3]\frac{\tg^2\theta +2\cotg^2\theta}{2} \geq \sqrt{2\tg^2\theta\cotg^2\theta}\\
\tg^2\theta +2\cotg^2\theta +3 \geq 3+ 2\sqrt{2\tg^2\theta\cotg^2\theta}\\
\tg^2\theta +2\cotg^2\theta +3 \geq 3+ 2\sqrt{2}\\
[/tex3]

O procedimento acima gera como consequência que a igualdade da função f muda para uma desigualdade. Veja bem, o termo que será substituído é maior ou igual ao termo substituinte. Se olharmos a função como o todo, o valor anterior é maior que o novo valor.
[tex3]f(\theta,\alpha) \geq \sec^2\alpha \cdot(3+2\sqrt{2})+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\sec^2\alpha+3\csc^2\alpha +2\sqrt{2}(\sec^2\alpha-\tg^2\alpha)\\
f(\theta,\alpha) \geq 3(\sec^2\alpha+\csc^2\alpha) +2\sqrt{2}\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\right) +2\sqrt{2}\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{4}{\sin^2(2\alpha)}\right) +2\sqrt{2}\\
[/tex3]

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[tex3]f(\theta,\alpha) \geq \sec^2\alpha \cdot(3+2\sqrt{2})+3\csc^2\alpha - 2\sqrt{2}\tg^2\alpha\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\sec^2\alpha+3\csc^2\alpha +2\sqrt{2}(\sec^2\alpha-\tg^2\alpha)\\
f(\theta,\alpha) \geq 3(\sec^2\alpha+\csc^2\alpha) +2\sqrt{2}\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\right) +2\sqrt{2}\\
f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{4}{\sin^2(2\alpha)}\right) +2\sqrt{2}\\
[/tex3]

Lembrando que [tex3]-1\leq \sin x\leq 1 \Longleftrightarrow \sin^2x\leq 1[/tex3]

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[tex3]-1\leq \sin x\leq 1 \Longleftrightarrow \sin^2x\leq 1[/tex3]

:
[tex3]f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{4}{\sin^2(2\alpha)}\right) +2\sqrt{2} \Longrightarrow f(\theta,\alpha) \geq12+ 2\sqrt{2}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(\theta,\alpha) \geq 3\left(\frac{4}{\sin^2(2\alpha)}\right) +2\sqrt{2} \Longrightarrow f(\theta,\alpha) \geq12+ 2\sqrt{2}
[/tex3]

Concluímos, portanto, que o valor mínimo da expressão proposta é: [tex3]12+2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]12+2\sqrt{2}[/tex3]

[jvmago]

Acho que essa questão sai por cálculo tem todo o jeitão

[JohnnyEN]

"Aqui você utilizará o artifício:
[tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex3]

"
alguém poderia me explicar o que é esse artificio que ele utilizou ?

[Deleted User 25040]

pesquise sobre a desigualdade da media aritmética e a media geométrica

[JohnnyEN]

ok, muito obrigado amigo

[Deleted User 25040]

na verdade pesquise sobre a desigualdade das medias, vai ser mais fácil de achar