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Mensagem não lidapor **Hanon** » Sáb 17 Fev, 2018 00:52 · Mensagem não lida por **Hanon** » Sáb 17 Fev, 2018 00:52

Sendo [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] números naturais em progressão aritmética e [tex3]z[/tex3] um número complexo de módulo unitário, determine um valor para cada um dos números [tex3]a, b, c[/tex3] e [tex3]z[/tex3] de forma que eles satisfaçam a igualdade:
[tex3]\frac{1}{z^a}+\frac{1}{z^b}+\frac{1}{z^c}=z^9[/tex3]

Não possuo Gabarito

[tex3]z^{c-a} + z^{c-b} + 1 = z^{9+c}[/tex3]
[tex3]z^{2r} + z^r +1 = z^{9+a+2r} \iff z^{9+a} = 1 + z^{-r} + z^{-2r} \iff z^{-9-a} =1 + z^r +z^{2r} = z^{9+a+2r}[/tex3] (pois [tex3]z \bar z=1[/tex3] )
de onde [tex3]9+a + 2r = -9 -a \iff r = -9 -a[/tex3]
então se fizermos [tex3]a=0, b=-9, c=-18[/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{z^{-9}} + z^{18} = z^{9} \iff z^{18} = -1 \implies z^{18} = \cis(\pi) [/tex3]
então pegue [tex3]z = \cis(\frac{\pi}{18})[/tex3] e [tex3]a=0[/tex3] [tex3]b = -9[/tex3] e [tex3]c=-18[/tex3] por exemplo

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