IME / ITA(IME - ITA) Produtos Notáveis e Fatoração Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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WagnerMachado
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Fev 2018 16 23:23

(IME - ITA) Produtos Notáveis e Fatoração

Mensagem não lida por WagnerMachado »

Qual o valor de [tex3]2008^2-2007^2+2006^2-2005^2+...+2^2-1^2[/tex3] ?
Não possuo gabarito


Última edição: WagnerMachado (Sex 16 Fev, 2018 23:23). Total de 1 vez.


"É do fogo mais ardente que se forja o aço bom." Rumo ao Colégio Naval!

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MatheusBorges
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Fev 2018 16 23:40

Re: (IME - ITA) Produtos Notáveis e Fatoração

Mensagem não lida por MatheusBorges »

[tex3]2007=2006+1[/tex3]
[tex3](2006+1)^{2}-2006^{2}=2.2006+1=4013[/tex3]
[tex3](2004+1)^{2}-2014^{2}=2.2004+1=4009[/tex3]
[tex3](2002+1)^{2}-2000^{2}=2.2002+1=4005[/tex3]
Eu comecei hoje o estudo de sequências mas está óbvio que temos uma P.A...

Última edição: MatheusBorges (Sex 16 Fev, 2018 23:52). Total de 5 vezes.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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csmarcelo
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Fev 2018 16 23:57

Re: (IME - ITA) Produtos Notáveis e Fatoração

Mensagem não lida por csmarcelo »

Temos 1004 diferenças de dois quadrados, da forma [tex3]a^2-b^2[/tex3] , onde [tex3]a=b+1[/tex3] .

Daí,

[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)=[(b+1)+b][(b+1)-b]=2b+1[/tex3]

Repare que os [tex3]b's[/tex3] das diferenças de dois quadrados estão em PA, onde:

[tex3]a_1=2\cdot 1+1=3[/tex3]
[tex3]a_{1004}=2\cdot 2007+1=4105[/tex3]
[tex3]q=2[/tex3]

Fazendo a soma dos 1004 primeiros termos,

[tex3]S_{1004}=\frac{1004(3+4015)}{2}=2017036[/tex3]



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csmarcelo
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Fev 2018 17 08:22

Re: (IME - ITA) Produtos Notáveis e Fatoração

Mensagem não lida por csmarcelo »

Só uma pequena correção: a PA mencionada refere-se aos [tex3]2b+1[/tex3] 's e não aos [tex3]b[/tex3] 's, o que é óbvio, mas ontem, com sono, nem percebi essa confusão que fiz.




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