IME / ITA(ITA) Sólido gerado pela intersecção de duas esferas Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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joaopcarv
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(ITA) Sólido gerado pela intersecção de duas esferas

Mensagem não lida por joaopcarv »

(ITA) As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente. Sabendo que os raios destas esferas
medem [tex3]2 \ cm[/tex3] e [tex3]\dfrac{3}{2} \ cm[/tex3] respectivamente, calcule:

b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas.



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mateusITA
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Re: (ITA) Sólido gerado pela intersecção de duas esferas

Mensagem não lida por mateusITA »

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Digamos que as esferas se interceptem no ponto C de coordenadas [tex3]\left(a,b\right)[/tex3] e que o centro da esfera maior tenha coordenadas [tex3]\left(x_0,0\right)[/tex3] . O vetor que liga o centro da esfera menor à intersecção das esferas é dado por [tex3]\vec{AC}=\left(a,b\right)[/tex3] e o que liga o centro da esfera maior à intersecção é dado por [tex3]\vec{BC}=\left(a-x_0,b\right)[/tex3] . Da condição do enunciado, esses vetores devem ser perpendiculares, o que implica:

[tex3]\vec{AC}\cdot \vec{BC}=0[/tex3]
[tex3]a^2-ax_0+b^2=0[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

O módulo do vetor [tex3]\vec{AO}[/tex3] é o raio da esfera menor, ou seja,

[tex3]a^2+b^2=\frac{9}{4}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Analogamente, para o vetor [tex3]\vec{BO}[/tex3] , temos

[tex3]a^2+x_0^2-2ax_0+b^2=4[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

Fazendo (II) em (I) e (III):

[tex3]\begin{cases}
ax_0=\frac{9}{4} \\
x_0^2-2ax_0=\frac{7}{4}
\end{cases}\therefore x_0^2-\frac{18}{4}=\frac{7}{4}\therefore x_0=\frac{5}{2}[/tex3]

Temos que [tex3]a=\frac{9}{10}[/tex3] . Então, a altura da calota esférica relativa a esfera menor é [tex3]h_1=\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}[/tex3] [tex3]cm[/tex3] , enquanto a altura da outra calota é [tex3]h_2=2-\left(\frac{5}{2}-\frac{9}{10}\right)=\frac{2}{5}[/tex3] [tex3]cm[/tex3] .

A área total da superfície é a soma da área das superfícies das duas coletas:

[tex3]A=2\cdot \pi\cdot 2\cdot \frac{2}{5}+2\cdot \pi\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{17}{5}\pi[/tex3] [tex3]cm^2[/tex3]




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Re: (ITA) Sólido gerado pela intersecção de duas esferas

Mensagem não lida por joaopcarv »

mateusITA,muito obrigado, vocês do ITA são demais :mrgreen:8)

Confesso que demorei um pouco para entender a resolução porque... eu quase não havia estudado sobre vetores, estou focando em vestibulares mais "comuns" mesmo, e não os militares (que acredito que cobrem isso)... mas vi uma analogia sobre esse assunto e os números complexos, o que já ficou mais tranquilo, mesmo assim, ainda estou "estudando" essa sua resolução... :lol:

No mais, ótima e Iteana resolução, obrigado



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