IME / ITA ⇒ Exercício ITA - Demonstração Tópico resolvido

[AnthonyC]

Mostre que se [tex3]2x+4y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+4y=1[/tex3]

então:
[tex3]x^{2} + y^{2}\geq \frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2} + y^{2}\geq \frac{1}{20}[/tex3]

[undefinied3]

Considere a circunferência [tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2=r^2[/tex3]

e a reta [tex3]2x+4y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+4y=1[/tex3]

. Queremos o menor raio que faça existir solução ao sistema:
[tex3]\begin{cases}
2x+4y=1 \\
x^2+y^2=r^2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2x+4y=1 \\
x^2+y^2=r^2
\end{cases}[/tex3]

É fácil ver que trata-se de uma circunferência centrada na origem que deve tangenciar a reta em questão, ou seja, o raio pedido seria a distância da origem até a reta em questão:
[tex3]r=\frac{|2.0+4.0-1|}{\sqrt{2^2+4^2}} \rightarrow r^2=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=\frac{|2.0+4.0-1|}{\sqrt{2^2+4^2}} \rightarrow r^2=\frac{1}{20}[/tex3]

De modo que [tex3]x^2+y^2 \geq \frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2 \geq \frac{1}{20}[/tex3]

irá sempre garantir solução para o sistema de equações.

[AnthonyC]

Muito obrigado pela ajuda.